Twierdzenia Fermata różnej wielkości

Pierre de Fermat (1601-1665)
Pierre de Fermat był Francuzem i żył w pierwszej połowie XVII wieku (1601-1665). Jako radca prawny praktykował w sądzie w Tuluzie na południu Francji. Naukami ścisłymi, a w szczególności matematyką, interesował się jako amator, ale wniósł potężny wkład do ich rozwoju. Szczególnie spektakularne są jego osiągnięcia w teorii liczb i o nich traktuje niniejszy artykuł. Wszyscy wiedzą, że jest Wielkie Twierdzenie Fermata (WTwF), Małe Twierdzenie Fermata (MTwF) i jeszcze inne twierdzenia Fermata dotyczące teorii liczb - ale które z nich jest największe?
Liczby fascynowały człowieka na długo przed Fermatem, a właściwie to już od jego zejścia z drzewa. Z tego długiego okresu uwzględnimy tylko Diofantosa, tworzącego (a zatem żyjącego) w starożytnej Grecji, gdyż jest on jednym z bohaterów opowiadanej historii. Najważniejszymi aktorami są jednak tytułowe twierdzenia. Oto one.
Twierdzenie (Małe Twierdzenie Fermata). Jeśli jest liczbą pierwszą oraz
jest liczbą całkowitą niepodzielną przez
to
![]() |
(1) |
W obecnej erze komputerów małe twierdzenie Fermata bywa stosowane do sprawdzania, czy dana (duża) liczba naturalna jest pierwsza. Zilustrujemy to na przykładzie. Niech


Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza? Można, oczywiście, dzielić ją przez kolejne liczby naturalne
i czekać na przypadek, że dzielenie da się wykonać bez reszty. Wtedy
i liczba
jest, oczywiście, złożona. Wystarczy używać
W naszym przypadku
a zatem grozi nam wiele dzieleń z resztą, chyba że
ma mały dzielnik
Obok przedstawiono istotny fragment tabeli, w której przedstawiono reszty liczb
przy dzieleniu przez
dla
Mamy zatem

i to na mocy małego twierdzenia Fermata kończy dowód, że nie jest liczbą pierwszą. Proszę zauważyć, że przeprowadzone rachunki nie dają żadnego nietrywialnego dzielnika
liczby
Używając innych metod, można pokazać, że

jest rozkładem na czynniki pierwsze. Niestety, są liczby złożone
które bardzo sprytnie podszywają się pod liczby pierwsze - to tak zwane liczby Carmichaela. Liczbę złożoną
nazywamy liczbą Carmichaela, gdy dla każdej liczby całkowitej
względnie pierwszej z
zachodzi kongruencja (1). Najmniejszą taką liczbą jest
i wiadomo, że jest ich nieskończenie wiele.
O MTwF można by mówić w nieskończoność - należy więc przejść do omówienia Wielkiego Twierdzenia Fermata. Na marginesie czytanej książki Diofantosa Fermat zanotował zdanie równoważne następującemu
Twierdzenie (Wielkie Twierdzenie Fermata). Jeśli liczby całkowite dodatnie spełniają warunek
to na pewno

Nieudane próby udowodnienia (lub obalenia) tej hipotezy były podejmowane do 1993 roku, kiedy to wreszcie pełny dowód podał Andrew Wiles z Cambridge. Wielokrotnie i wyczerpująco opisywano, jak te wysiłki przyczyniły się do rozwoju współczesnej matematyki, przynajmniej w jej części algebraicznej i geometrycznej. My ograniczymy się do zaprezentowania jednego podejścia, które dość szybko okazuje się zupełnie nieskuteczne, ale co zaskakujące, również ono wpłynęło na rozwój matematyki! Oprócz równania rozważymy także kongruencję
![]() |
(2) |
Wówczas WTwF dla wykładnika wynika łatwo z następującego lematu.
Lemat. Jeśli to dla nieskończenie wielu liczb pierwszych
wszystkie rozwiązania kongruencji (2) spełniają
Rzeczywiście, rozważmy hipotetyczne rozwiązanie równania w liczbach całkowitych dodatnich i liczbę pierwszą
Wówczas kongruencja (2) ma, oczywiście, rozwiązanie, w którym żadna z liczb
nie jest podzielna przez
- ta konstatacja jest jednak sprzeczna z tezą Lematu.
Niestety, taki atak na WTwF nie może się udać! Pokażemy teraz na dwa sposoby, że powyższy Lemat nie jest prawdziwy.
Pierwszy sposób oparty jest na słynnym twierdzeniu Schura.
Twierdzenie (Schur). Załóżmy, że liczby podzielono na
(rozłącznych) klas. Wówczas przynajmniej jedna z tych klas zawiera dwie liczby
oraz ich różnicę
Stosując twierdzenie Schura, wykażemy przykładowo, że Lemat nie jest prawdziwy dla (dla dowolnego
rozumowanie jest analogiczne). Rozróżniamy dwa przypadki:
- (1)
Wówczas funkcja
dana wzorem
jest różnowartościowa (a więc i "na"). Istotnie, załóżmy przeciwnie, że dla pewnych
mamy
czyli
To jednak jest niemożliwe, bo
a 7 nie dzieli
Oznacza to, że każda reszta modulo
jest siódmą potęgą, a zatem kongruencja (2) ma mnóstwo nietrywialnych rozwiązań. Oznacza to, że każda reszta mod
jest siódmą potęgą, a zatem kongruencja (2) ma mnóstwo nietrywialnych rozwiązań.
- (2)
Tutaj załóżmy, że
Liczby
zaliczamy do tej samej klasy, gdy (z definicji) kongruencja
ma rozwiązanie. Jest
klas (abstrakcji) i na mocy twierdzenia Schura
dla pewnych
Mamy więc
i, oczywiście,
A oto kolejny dowód na to, że rzekoma teza Lematu nie jest prawdziwa. Tym razem rozumowanie korzysta ze słynnego oszacowania na liczbę rozwiązań kongruencji. Ogólna wersja tego oszacowania dla dowolnych gładkich rozmaitości nad ciałem skończonym, znana w ramach hipotez Weila jako hipoteza Riemanna dla rozmaitości, opierała się wysiłkom matematyków przez wiele lat. W końcu udowodnił ją w całej okazałości Pierre Deligne w 1973 roku i zastosował w tym dowodzie cały arsenał nowoczesnej geometrii algebraicznej.
Twierdzenie (Oszacowanie Hasse-Weila dla krzywej Fermata). Dla każdej liczby pierwszej niech
oznacza liczbę rozwiązań
kongruencji (2), przy czym dwa rozwiązania
utożsamiamy, gdy istnieje takie
że

Wówczas mamy oszacowanie

Wynika stąd natychmiast, że dla ustalonego i dla dostatecznie dużej liczby pierwszej
istnieją rozwiązania kongruencji (2) spełniające
Po dwakroć zatem porzućmy wszelkie nadzieje na to, że WTwF można udowodnić poprzez rozważanie kongruencji. Z drugiej strony zarówno twierdzenie Schura, jak i powyższy szczególny przypadek hipotez Weila dla krzywych nad ciałami skończonymi, wywarły duży wpływ na rozwój kombinatoryki i geometrii algebraicznej. Tak więc pomysły, które całkowicie zawodzą w potencjalnie słynnym zastosowaniu, okazują swoją użyteczność jako zalążki nowych interesujących teorii.
I wreszcie, last but not least, omówimy twierdzenie Fermata bezprzymiotnikowe. Dotyczy ono przedstawialności liczb pierwszych w postaci sumy dwóch kwadratów liczb całkowitych.
Jedyna i istotna trudność w dowodzie tego twierdzenia to pokazanie, że każda liczba pierwsza postaci
jest postaci (3). Czasem dopowiada się, że przedstawienie (3) jest tylko jedno, ale to jest łatwe. Powyższe wspaniałe twierdzenie Fermata jest zaczynem algebraicznej teorii liczb, jednego z ważnych działów matematyki współczesnej głównego nurtu.
Mianowicie, twierdzenie to można sformułować tak:
- jeśli liczba pierwsza
jest postaci
to
jest elementem nierozkładalnym w pierścieniu
- jeśli liczba pierwsza
nie jest postaci
to jest elementem rozkładalnym w
tzn.
![]() |
(4) |
Rzeczywiście, z (4) wynika, że

skąd po pomnożeniu obu ostatnich wzorów stronami otrzymujemy

Ponieważ jest liczbą pierwszą, więc musi być

Odwrotnie, jeśli to liczba
jest rozkładalna w
gdyż

Prawa rozkładu liczb pierwszych w innych pierścieniach typu wiążą się w subtelny sposób z próbami przeniesienia powyższego twierdzenia Fermata na przedstawienia typu

Z powyżej napisanego nie wynika w żaden sposób, które z omówionych teorioliczbowych twierdzeń Fermata jest największe. Wierzę jednak, że każde z nich potrafi zainfekować Czytelnika teorią liczb równie mocno, a o to tylko tu chodzi.