Konsekwencje twierdzenia Dirichleta

Słynne twierdzenie Dirichleta głosi, że jeżeli liczby naturalne $|a;r ⩾1$ są względnie pierwsze, to ciąg arytmetyczny $a;a + r;a + 2r;:::$ zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych. Przedstawimy kilka wniosków płynących z tego twierdzenia.

Wniosek (A). W każdym takim ciągu dla każdej liczby naturalnej $s$ istnieje nieskończenie wiele wyrazów będących iloczynami $s$ różnych liczb pierwszych. Dowód tego stwierdzenia można znaleźć w książeczce Wacława Sierpińskiego "250 zadań z elementarnej teorii liczb" (WSiP, Warszawa 1986, zadanie nr 70).

Wniosek (B). Dla każdej liczby naturalnej $m$ istnieje taka liczba pierwsza $p > 2m,$ że przedziały $[p | − 2m,$ i $(p, p+ 2m]$ nie zawierają liczby pierwszej. Dowód powyższego stwierdzenia znajduje się w moim artykule Tryptyk o liczbach pierwszych w $8 ∆ 00.$

Wniosek (C). Jeżeli w takim ciągu pewien wyraz jest $|k$ -tą potęgą liczby naturalnej, to ciąg ten zawiera nieskończenie wiele $k$ -tych potęg liczb pierwszych.

Dowód Andrzeja Schinzla (korespondencja prywatna). Załóżmy, że $|bk≡ a modr$ dla pewnego $|b ∈N+.$ Skoro $|NWD(a, r) = 1,$ to wynika stąd, że $NWD(b, r) = 1.$ Zatem na mocy twierdzenia Dirichleta istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych $|p,$ że $p ≡ b modr.$ W konsekwencji $|pk ≡bk modr,$ czyli $|pk≡ a modr,$ co kończy dowód.

Wniosek (D). Dla dowolnej liczby naturalnej $|k ⩾1$ ciąg arytmetyczny $1,1+ r,1+ 2r,...$ zawiera nieskończenie wiele $k$ -tych potęg liczb pierwszych.

Uzasadnienie. Wystarczy zauważyć, że $|a = 1≡ 1k modr$ i skorzystać z poprzedniego wniosku.

Wniosek (E). Niech $|a,r ⩾1$ będą liczbami naturalnymi względnie pierwszymi. Wówczas dla każdej liczby naturalnej $|k⩾ 1$ istnieje nieskończenie wiele takich par $p,q$ liczb pierwszych, że pewien wyraz ciągu arytmetycznego $a,a + r,a +2r,...$ jest postaci $pqk.$

Dowód. Niech $k ⩾1$ będzie dowolnie ustaloną liczbą naturalną. Niech $|q$ będzie dowolnie ustaloną liczbą pierwszą, niedzielącą $r.$ Skoro liczby $|qk$ i $|r$ są wtedy względnie pierwsze, to istnieją takie liczby naturalne $|s,t ⩾ 1,$ że

sqk− tr = 1.

(*)

Przy tym widać, że liczby $| s$ i $| r$ są względnie pierwsze. Ponadto z założenia liczby $|a$ i $r$ są względnie pierwsze. Wynika stąd, że $|NWD(as, r) = 1.$ Zatem, wykorzystując twierdzenie Dirichleta, stwierdzamy, że ciąg arytmetyczny $as + r,as + 2r,as+ 3r,...$ zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech więc $| m$ będzie takie, że $| p = as + mr$ będzie liczbą pierwszą i przy tym takich liczb $|p$ jest nieskończenie wiele. Połóżmy $n = 1+ at+ mqk.$ Wtedy $n |$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego $|a,a+ r,a + 2r,...$ jest, wobec $(∗),$ równy: