Konkurs prac uczniowskich

Uogólnione ciągi Fibonacciego

Skrót pracy nagrodzonej złotym medalem w konkursie Polskiego Towarzystwa Matematycznego i redakcji Delty na najlepszą pracę maturalną w roku 1978.

Przypomnijmy sobie definicję zwykłego ciągu Fibonacciego

Definicja. Ciągiem Fibonacciego jest to taki ciąg $|{Un},$ że

U0 = 0, U1 = 1 oraz Un+2 = Un+1 + Un.

Jak można uogólnić to pojęcie? Oczywiście ciąg Fibonacciego jest przedstawicielem zbioru ciągów ${Bn}$ spełniających warunki:

B0 = a, B1 = b oraz Bn+2 = sBn+1 +tBn,

gdzie $a,b, s,t ∈C$ oraz $s,t ≠0.$

Pokażemy później, że dla badania podzielności wygodniejsze będzie inne, nieco węższe uogólnienie.

Definicja. Uogólnionym ciągiem Fibonacciego nazwiemy każdy taki ciąg $| {An},$ w krórym

A0 = a, A1 = 1 oraz An+2 = kAn+1 + cAn,

gdzie liczby $k,c$ są względnie pierwsze oraz $k,c ∈C ∖0.$

Istnieje wzór, który daje wartość $An$ jako funkcję numeru wyrazu. Dla zwykłego ciągu Fibonacciego nosi nazwę wzoru Bineta od nazwiska Francuza, który go po raz pierwszy dowiódł w 1843 roku.

Cały artykuł dostępny jest w wersji do druku [application/pdf]: (582 KB)