O pewnym uogólnieniu małego twierdzenia Fermata

Udowodnione ponad trzysta lat temu małe twierdzenie Fermata głosi, że dla każdej liczby całkowitej $a$ i liczby pierwszej $p$ zachodzi podzielność $p |p a − a:$ Pragnę przedstawić jego uogólnienie, związane z iteracją funkcji zespolonej $|f (z) = za;$ gdzie $a ⩾ 2$ jest liczbą całkowitą.

Część wstępna

Niech $f$ będzie funkcją określoną na pewnym niepustym zbiorze $X,$ przyjmującą wartości w tym zbiorze. Przyjmijmy oznaczenie $0 f = id$ (tzn. $0 | f (x) = x$ dla każdego $|x ∈X$ ) oraz w sposób indukcyjny zdefiniujmy $f | n = f ○ f n−1$ dla dodatnich liczb naturalnych $n.$

Powiemy, że $n ⩾ 1$ jest okresem punktu $x0,$ jeżeli $fn(x0) = x0,$ natomiast okresem podstawowym punktu $x0$ nazwiemy najmniejszy spośród jego okresów (o ile takie istnieją). Zauważmy, że

okres podstawowy punktu x0 jest dzielnikiem każdego z jego okresów.

(*)

Rzeczywiście, niech $|m$ będzie okresem podstawowym, a $n$ pewnym okresem $x0.$ Niech $n = km+ r,$ gdzie $|r∈ {0,...,m− 1}$ jest resztą z dzielenia $n$ przez $m.$ Przypuśćmy, że $|r≠ 0.$ Wtedy

x0 = fn(x0) = fkm+r(x0) = fr( fkm(x0)) = fr(x0),

co jest sprzeczne z definicją liczby $m.$

Załóżmy, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ funkcja $f$ ma skończenie wiele punktów o okresie $n,$ a ich liczbę oznaczmy przez $an.$ Ponadto niech $|bm$ będzie liczbą punktów o okresie podstawowym $m. |$ Wówczas z $|(∗)$ łatwo wynika

an = Q bm. mSn

Rozważmy teraz $x 0$ o okresie podstawowym $m.$ Wówczas $m | f(x0),..., f (x0)$ również mają okres podstawowy $m.$ W przeciwnym razie, $fl( fk(x0)) = fk(x0)$ dla pewnego $1 ⩽k ⩽ m− 1$ i $l < m.$ Stąd $| fk+l(x0) = fk(x0),$ więc

m m k m k+l l m l x0 = f (x0) = f ( f (x0)) = f ( f (x0)) = f ( f (x0)) = f (x0),

co prowadzi do sprzeczności, ponieważ $|x0$ ma okres minimalny $|m$ i $|l < m.$ Ponadto punkty $x0, f(x0),..., fm (x0)$ są parami różne, gdyż gdyby $fk(x ) = fl(x ) 0 0$ dla pewnych $0 ⩽k < l⩽ m−1,$ to

k l k+ l−k l−k k f (x0) = f (x0) = f (x0) = f ( f (x0)),

czyli $k | f (x0)$ miałby okres minimalny nie większy niż $l −k < m,$ co (jak pokazaliśmy wcześniej) jest niemożliwe. Z poczynionych obserwacji wynika, że zbiór punktów o okresie podstawowym $m$ jest sumą skończonej liczby rozłącznych, $m$ -elementowych zbiorów postaci $m |{x0, f(x0),..., f (x0)},$ a zatem $m bm.$

bpq = apq − ap− aq +a1.

Okazuje się, że otrzymywane równości możemy uogólnić, korzystając z formuły inwersyjnej Möbiusa, wedle której jeśli $(xn)∞n 1$ i $(yn)∞n 1$ są ciągami liczb całkowitych oraz $x = y , n PmSn n$ to wówczas $|y = (µm)x n, n PmSn m$ gdzie

⎧⎪⎪⎪1, dla m = 1; ⎪⎪ k µ (m) = ⎨⎪⎪(− 1) , dla m = p1⋯ pk, gdzie pi to różne liczby pierwsze; ⎪⎪⎪0, w przeciwnym razie. ⎩

Jej bezpośrednie zastosowanie prowadzi nas do równości $| n bn = PmSn(µm)a m ,$ co w połączeniu z podzielnością $| n bn$ pozwala stwierdzić, że dla dowolnej liczby naturalnej $|n$

n Q µ(m)a nm . mSn

Część zasadnicza

Wróćmy do twierdzenia Fermata.

Dla ustalonego $|a > 1$ rozważmy funkcję zespoloną $| f(z) = za.$ Złożenie $|n$ -krotne funkcji $f$ jest równe

n an f (z) = z .

Zauważmy, że dla każdego $n$ zbiór wszystkich punktów okresowych o okresie $n$ jest skończony. Rzeczywiście, składa się on z zespolonych pierwiastków równania

n za = z,

Jednym z jego pierwiastków jest $z = 0,$ a jeżeli $z ≠ 0,$ to $an−1 z = 1,$ więc $|z$ jest pierwiastkiem zespolonym z jedynki stopnia $an − 1,$ a tych jest dokładnie $an − 1.$ Wynika stąd, że w tej sytuacji

n nm an = a , czyli n Q µ(m)a . mSn

Dla liczby pierwszej $n = p$ otrzymujemy małe twierdzenie Fermata: $p |p a − a.$

Czytelnik Uważny zauważy, że dla $a = 1$ nie możemy stosować naszego rozumowania (dlaczego?). Na szczęście zachodzi $PmSn(µm) = 0,$ dla dowolnej liczby naturalnej $n > 1,$ zatem nasze twierdzenie pozostaje prawdziwe i w tym przypadku.

Spróbujmy pójść jeszcze krok dalej. Niech $∞ |(dn)n 1$ będzie ciągiem liczb całkowitych. Powiemy, że jest on ciągiem Dolda, jeżeli dla każdej liczby naturalnej zachodzi podzielność

n n Q µ(m)d m . mSn

Z wcześniejszych rozważań wynika, że ciąg $|(an)∞ n 1$ jest ciągiem Dolda dla dowolnej liczby całkowitej $a.$

Ciągi Dolda mają ciekawą charakteryzację. Niech $(c )∞ n n 1$ będzie ciągiem liczb całkowitych. Powiemy, że ciąg $∞ |(dn)n 1$ jest generowany przez ciąg $∞ (cn)n 1,$ jeżeli dla $n ⩾ 1$ zachodzi

dn = c1dn−1 +c2dn−2 +⋯ +cn−1d1 + ncn.

Okazuje się, że $∞ |(dn)n 1$ jest ciągiem Dolda wtedy i tylko wtedy, gdy jest generowany przez pewien ciąg $∞ (cn)n 1.$ Zostało to wykazane przez Bau-Sen Du, Sen-Shan Huanga i Ming-Chia Li - ich dowód można znaleźć w artykule Generalized Fermat, double Fermat and Newton sequences opublikowanym w czasopiśmie Journal of Number Theory w 2003 roku.