Spróbujemy poukładać z kulek różne figury, a zaczniemy od trójkątów. Trójkąt o boku  powstaje poprzez ułożenie jednej kulki w wierzchołku, dwóch kulek poniżej, trzech kulek w kolejnym rzędzie i tak dalej, aż do podstawy złożonej z   kulek (jak na rysunku dla ). W takim razie taki trójkąt jest złożony z   kulek (liczbę  będziemy nazywać liczbą trójkątną). Jednocześnie, odrobinę przekładając kulki, można z dwóch takich trójkątów ułożyć prostokąt o wymiarach  A co to oznacza? Oczywiście:

czyli

Zachęceni tym małym sukcesem spróbujmy pójść dalej i ułożyć z kulek sześciokąt: wkładamy jedną kulkę w środek, otaczamy ją sześcioma kulkami, te otaczamy dwunastoma kolejnymi i tak dalej.

Do zbudowania sześciokąta o boku  zużywamy więc  kulek (taką liczbę będziemy nazywać liczbą sześciokątną). Czy można ją łatwo obliczyć? Oczywiście – przecież sześciokąt składa się z kulki w środku i sześciu trójkątów, o boku o jeden mniejszym niż bok sześciokąta. W takim razie

Co będziemy budować dalej? Oczywiście można zabawiać się różnymi wielokątami, ale można również zacząć przygodę w trzecim wymiarze – zbudujemy piramidę o podstawie trójkąta.

Do zbudowania  poziomów takiego czworościanu potrzebujemy  Czyli ile? – co to za liczby? Czy można wyrazić je w inny sposób? Znów pomoże nam układanka, tym razem przestrzenna. Z trzech takich piramid możemy ułożyć graniastosłup o wysokości  i o podstawie trójkąta o boku .

W takim razie otrzymujemy kolejną własność:

Spróbujmy jeszcze ułożyć piramidy z sześciokątów. Jedna kulka na szczycie, siedem kulek niżej, i tak dalej aż do podstawy z   kulek. Zużyliśmy w ten sposób  kulek: dla kolejnych  są to liczby  Chwileczkę! Czyżby to były sześciany liczb naturalnych? Na to wygląda, ale jak się o tym przekonać?

Wystarczy odpowiednio „powyginać” dokładane sześciokąty:

kulek można ułożyć w trzy ściany sześcianu o boku  Potem już nietrudno złożyć z kolejnych takich kawałków sześcian:

W ten sposób udało nam się pokazać kolejną zależność między naszymi liczbami:

Na zakończenie spróbujemy pójść jeszcze dalej – ułożyć piramidę z sześcianów (choć można traktować ją jako obiekt czterowymiarowy, my będziemy myśleć o niej jako o sześcianach ułożonych jeden na drugim). Ile zużyjemy kulek? Tym razem będzie to

I znów możemy przyjrzeć się uważnie tak otrzymanym liczbom:

Są to kwadraty  liczb trójkątnych! A dlaczego? Wystarczy każdy z sześcianów odpowiednio pociąć i ułożyć z otrzymanych kawałków pasek w kształcie litery L – kolejne takie paski złożą się w kwadrat o boku :

I tak otrzymaliśmy kolejny wzór

Czytelnik Wytrwały z pewnością odnajdzie jeszcze inne zależności między liczbami geometrycznymi (czyli takimi, które odpowiadają liczbie kulek w pewnych figurach i bryłach). Każda z nich pomaga zrozumieć pewną zależność, której dowodzenie standardowymi metodami może okazać się wcale niełatwe…