Jeśli umówimy się, że 1 jest liczbą -kątną dla dowolnego  to liczbami trójkątnymi będą  czworokątnymi  pięciokątnymi  sześciokątnymi  Można znajdować i badać wynikające z obserwacji tych liczb prawidłowości: np. (n+1)-szą liczbę trójkątną uzyskujemy, dodając do poprzedniej n+1. Albo: suma  kolejnych liczb nieparzystych to  W dawnych wiekach tego rodzaju spostrzeżenia dały początek pasjonującej do dziś wielu mistyków numerologii. Można też – bardziej matematycznie – znaleźć ogólny wzór na -tą liczbę -kątną. Może on wyglądać, na przykład,

Oczywiście, w podobny sposób można układać z kuleczek wielościany. Gdybyśmy jednak chcieli trzymać się słowa foremny, które wystąpiło w definicji liczb wielokątnych, otrzymalibyśmy tylko pięć takich ciągów, bo istnieje tylko pięć wielościanów foremnych:

A na dodatek trudno określić, jak miałyby wyglądać kolejne wyrazy takich ciągów – zresztą proszę spróbować.

Dla sześcianu można to sobie jeszcze wyobrazić:  Może jeszcze dla czworościanu i ośmiościanu daje się coś wymyślić. Ale np. jak by to było dla dwudziestościanu?

---

Dlatego więc bardziej popularne są liczby piramidalne.

Jak widać na rysunkach, jest to wynik układania na kulkach reprezentujących -tą liczbę -kątną kulek reprezentujących -szą liczbę -kątną, aż do pojedynczej kulki.

Na rysunku z lewej jest piąta liczba piramidalna trójkątna, czyli 35. Na pozostałych rysunkach można policzyć, ile kulek składa się na piątą liczbę piramidalną czworokątną i piątą liczbę piramidalną pięciokątną. Ale można też – korzystając z faktu, że -ta liczba piramidalna -kątna jest sumą początkowych  liczb -kątnych – wyprowadzić sobie wzór na nią. Proszę sprawdzić, że otrzymamy

Dla liczb piramidalnych czworokątnych będzie to akurat suma kwadratów początkowych  liczb. A czy są tu jeszcze jakieś inne ciekawostki?

Od sytuacji dwuwymiarowej (wielokąty) przeszliśmy do sytuacji trójwymiarowej (piramidy, czyli wielościany), a co dalej? Gdy braknie nam wyobraźni, zawsze mamy jeszcze możność posługiwania się analogiami. Liczby piramidalne, czyli trójwymiarowe, otrzymaliśmy przez sumowanie liczb wielokątnych, czyli dwuwymiarowych. Możemy więc – przez analogię – przyjąć następującą definicję:

Jakie to liczby? Początek znamy: -te liczby -kątne dwuwymiarowa i trójwymiarowa to (patrz wyżej)

Wpadamy więc na pomysł, że może -ta liczba -kątna czterowymiarowa to

Drogi Czytelniku, sprawdź, korzystając z definicji, że ten pomysł jest rzeczywiście trafny.

A dla prawdziwych Bohaterów Zmagań Rachunkowych mamy do sprawdzenia dwie postacie wzoru na -tą liczbę -kątną -wymiarową