Aby wykazać, że siódemka jest początkową cyfrą nieskończenie wielu potęg dwójki, trzeba wyjść poza krąg najprostszych eksperymentów i  zrozumieć, co to znaczy, że zapis dziesiętny liczby  zaczyna się od siódemki. Otóż, jest tak wtedy, gdy znajduje się między dwiema liczbami: pierwszą z nich jest siódemka z pewną ilością zer, a drugą – ósemka z taką samą liczbą zer. Wszystkie liczby między tymi dwiema zaczynają się od siódemki. I na odwrót, każdą liczbę, która ma za pierwszą cyfrę siódemkę, można wstawić w jeden z przedziałów o końcach i  (zer jest w obu liczbach tyle samo).

Teraz, żeby było poręczniej, użyjmy symboli:  jest pierwszą cyfrą liczby  wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego naturalnego  mamy

Aby dostać prostszy, równoważny zapis, logarytmujemy te nierówności stronami (przy podstawie 10); daje to najpierw , a ostatecznie

Możemy tak napisać, gdyż i dlatego (liczba cyfr  zmniejszona o 1) jest częścią całkowitą liczby .

Poszukiwanie potęg dwójki z pierwszą cyfrą 7 jest więc tym samym, co obserwowanie kolejnych wyrazów ciągu , gdzie , a 

Gdyby np. wziąć , ciąg  części ułamkowych kolejnych wielokrotności  byłby okresowy: wyrazy o numerach różniących się o 137 byłyby równe. Podobnie byłoby dla każdej liczby wymiernej  . Jednak nie jest liczbą wymierną: gdyby był równy , to wprost z definicji logarytmu mielibyśmy , czyli , co jest niemożliwe (lewa strona dzieli się przez  , a prawa nie). Kluczową dla nas konsekwencją niewymierności jest to, że wszystkie wyrazy ciągu  są różne. Gdyby bowiem było dla jakichś numerów , to przekształcając równość , zapisalibyśmy jako ułamek o liczniku i mianowniku całkowitym,

a wiemy już, że takim ułamkiem nie jest.

Te dwa spostrzeżenia pozwalają zrozumieć wszystko do końca. Podzielmy najpierw odcinek na  równych przedziałów, wybierając tak, żeby długość każdej części była mniejsza niż (wystarczy w tym celu wziąć ). Zgodnie z zasadą szufladkową Dirichleta któreś dwie spośród – powiedzmy  i  – należą do tego samego przedziału długości  . Jak otrzymać , gdy znamy  ? Nietrudno to wymyślić:  jest częścią ułamkową  , więc jeśli staniemy na osi liczbowej w punkcie  , zrobimy  kroków długości  w prawo i zmierzymy odległość od ostatniej miniętej liczby całkowitej, to otrzymamy część ułamkową liczby , która jest równa części ułamkowej liczby , tzn. równa  . A to znaczy, że

jest sumą liczby całkowitej i ułamka . Może zachodzi , a może . Tego nie wiemy i na szczęście jest to nieistotne. Na pewno jednak moduł  nie przekracza , bo  i  wybraliśmy z tego samego krótkiego przedziału.

Dla wygody wyobraźmy sobie teraz, że oś liczbowa została nawinięta na okrąg długości  , jak nierozciągliwa nić na szpulkę. W wyniku tej operacji sklejone zostały końce odcinka , a także wszystkie liczby całkowite. Przesunięciu o  na nitce-osi-liczbowej odpowiada obrót szpulki-okręgu o kąt równy kątowi środkowemu opartemu na łuku długości  , czyli mówiąc po szkolnemu i nie bawiąc się w radiany, o kąt  stopni. Przesunięciu o  , czyli -krotnemu przesunięciu o  , odpowiada kolejne wykonanie  takich obrotów, czyli obrót o   stopni. Wiemy już, że jest , tzn. , a obrót o   stopni dla całkowitego  nic przecież nie zmienia. Na naszej zwiniętej osi liczbowej przejście od do  , a także od jakiegokolwiek do  , polega więc na obrocie o kąt  stopni. Może w lewo, a może w prawo; tego nie wiemy. Dowcip polega jednak na tym, że liczba  ma niewielki moduł i dlatego  wyjściowych obrotów daje obrót o niewielki kąt. Zauważmy: dobierając wcześniej odpowiednio dużą liczbę  , moglibyśmy sprawić, że byłby to obrót o kąt mniejszy od dowolnie ustalonego.

Na szpulce-zwiniętej-osi jest łuczek-przedział . Dla dowolnego  liczby itd. przedzielone są łukami okręgu długości . Ponadto, wszystkie te liczby są różne; stwierdziliśmy to już dawno. Moglibyśmy je zaznaczyć ołówkiem, stawiając na okręgu kropki w regularnych odstępach, tak, jak podziałki na zegarku – tzn. prawie tak, bo wszak zatoczywszy ołówkiem koło, nie trafilibyśmy ponownie w to samo miejsce. Przedział jest dłuższy niż odstęp między sąsiednimi kropkami. Zatem któraś kropka weń wpadnie. Jeśli będziemy zaznaczać kropki bez końca, to za każdym pełnym obiegiem co najmniej jedna z nich znajdzie się na łuku między a  . Zatem do przedziału należy nieskończenie wiele wyrazów ciągu  . Nieskończenie wiele potęg dwójki zaczyna się od siódemki.

Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnego przedziału , gdzie . Wystarczy tak dobrać liczbę  , żeby ,,chodzić w kółko odpowiednio drobnymi kroczkami”. Nietrudno stąd wywnioskować, że każdy skończony ciąg cyfr pojawia się na początku zapisu dziesiętnego nieskończenie wielu potęg dwójki. Kto zechce, dopracuje szczegóły.

Czytelnik spostrzegł zapewne, że im przedział krótszy, tym więcej potrzeba w powyższym rozumowaniu wyrazów ciągu  , żeby któryś z nich do tego przedziału trafił. Po chwili namysłu można wysunąć przypuszczenie, że liczby  powinny trafiać do przedziału z grubsza proporcjonalnie często do długości tego przedziału. Tego już nie udowodnimy, ale prawdą jest, że ciąg

ma dla granicę równą , czyli owo naturalne przypuszczenie jest jak najbardziej słuszne. Jest to twierdzenie Bola, Sierpińskiego i Weyla o równomiernym rozkładzie. Wynika zeń, że częstości początkowych cyfr liczb  są następujące: 30,1% jedynek, 17,6% dwójek, 12,5% trójek, 9,7% czwórek, 7,9% piątek, 6,7% szóstek, 5,8% siódemek, 5,1% ósemek i żałosne 4,5% dziewiątek (proszę nie dodawać, bo błędy zaokrągleń wyjdą na jaw).

Takie same są częstości, z jakimi występują na początku  , gdy jest niewymierny, a więc gdy nie jest potęgą dziesiątki. Na trop tego zjawiska wpadł w 1881 roku Simon Newcomb, astronom i matematyk, zauważywszy, że tablice logarytmiczne są bardziej wytarte na początkowych stronach. To samo wykrył pół wieku później Paul Benford, fizyk zatrudniony w firmie General Electric.

Tak zwane prawo Benforda orzeka, że w różnych pochodzących z życia zestawach danych częstości początkowych cyfr są właśnie takie. W USA urzędy skarbowe i inni tropiciele oszustw finansowych z powodzeniem używają prawa Benforda w walce z tymi, którzy zamiast czytać Deltę, wolą np. seryjnie fałszować czeki i zbyt często wpisują na nich kwoty z dziewiątką na początku (bo w ich banku – począwszy od  – potrzebny jest przy wypłacie dodatkowy podpis kontrolera).

Kto lubi wygodę, płynącą ze stosowania odpowiedniej maszynerii, a roczny wykład analizy matematycznej ma za sobą, niech zajrzy do książki Fomina, Kornfelda i Sinaja o teorii ergodycznej (polski przekład ukazał się w 1987 r.), odszuka podrozdział poświęcony równomiernemu rozkładowi, a następnie sam udowodni twierdzenie Bola, Sierpińskiego i Weyla w paru linijkach (dużo treściwszych niż mój rozgadany tekst). To dzięki temu twierdzeniu wiedziałem, że wystarczy obejrzeć ledwie kilkadziesiąt milionów potęg dwójki, żeby na początku jednej z nich znaleźć właściwą datę. Gdyby Redaktor urodził się np. 17 marca, zadanie byłoby trudniejsze, a ja musiałbym dłużej nie używać laptopa do pracy.