Rachunki
O nierówności między średnią arytmetyczną sinusa i tangensa kąta ostrego a jego miarą
Celem tego artykułu jest wykazanie prawdziwości nierówności dla dowolnego kąta ostrego
Podaną nierówność można łatwo udowodnić, używając rachunku różniczkowego. Można jednak zadać pytanie: czy da się tego uniknąć, czy można ją wykazać krócej, używając przy tym jedynie elementarnej geometrii. Okazuje się, że tak.
Rozważmy okrąg jednostkowy o środku w początku układu współrzędnych i ustalmy dowolny kąt
Niech
i obierzmy taki punkt
leżący na okręgu jednostkowym w pierwszej ćwiartce, że
; na półprostej
tak obierzmy zaś punkt
aby trójkąt
był prostokątny, o kącie prostym
Zostało to przedstawione na rysunku 1.
Łatwo można dostrzec, że
![]() |
Obliczmy teraz kolejno pola wymienionych figur. Po pierwsze zachodzi
![]() |
Znany jest także wzór na pole wycinka kołowego o danej rozwartości, który mówi, iż
![]() |
Ponieważ zachodzi równość to
![]() |
Otrzymaliśmy w ten sposób geometryczny dowód związku między wartościami funkcji trygonometrycznych kąta ostrego a jego miarą.
Twierdzenie. Dla dowolnej liczby zachodzi nierówność
![]() |
Wykorzystane w dowodzie powyższego twierdzenia geometryczne konstrukcje przydadzą się nam do wykazania podanej we wstępie nierówności. Poprowadźmy styczną w punkcie do okręgu, przecinającą odcinek
w punkcie
(Rys. 2).
Z twierdzenia o odcinkach stycznych do okręgu wiemy, iż Odcinek
jest przeciwprostokątną trójkąta
odcinek
jest zaś jego przyprostokątną, zatem
Z powyższych własności wynika, że
Rozważmy teraz trójkąty i
Mają one tę samą wysokość opuszczoną na prostą
skoro zaś podstawa tego pierwszego jest dłuższa od podstawy drugiego, to
![]() |
Wiemy już, polami czego są wielkości Spójrzmy więc na rysunek 3, na którym na szaro zaznaczono figurę o polu
kolorem zaś figurę o polu
Łatwo zauważyć, że
![]() |
Udowodniliśmy tym samym następującą zależność.
Twierdzenie. Dla dowolnej liczby zachodzi nierówność
![]() |