Ślad ruchomego odcinka
Choć ruch jest wszechobecny w naszym otoczeniu, to opis dynamicznych zmian będących jego wynikiem sprawia nam kłopot. Oto kilka prostych obserwacji...

Rys. 1.
Fakt. Gdy okrąg toczy się bez poślizgu po wewnętrznej stronie nieruchomego okręgu o dwa razy większej średnicy, to dowolnie wybrany punkt mniejszego okręgu przesuwa się po średnicy dużego okręgu tam i z powrotem.
Wykażemy, że tak jest. Na małym okręgu ustalmy punkty i
tak jak na rysunku 1. Gdy mały okrąg toczy się po łuku
i kąt
to przecina odcinek
w takim punkcie
że kąt
Wówczas łuki
oraz
są tej samej długości. Oznacza to, że podczas toczenia małego okręgu punkt
przesuwa się do punktu
wzdłuż prostej
co chcieliśmy uzasadnić.
Zauważmy, że w tym samym czasie punkt przesuwa się do punktu
wzdłuż prostej
Punkt
z punktem
są końcami średnicy małego okręgu (bo łuki
i
są równej długości), więc kąt
jest prosty. Mamy więc dodatkową informację: podczas opisanego toczenia końce odcinka
ślizgają się po wzajemnie prostopadłych średnicach większego okręgu.

Rys. 2.
Okazuje się, że:
Fakt. Każdy punkt pośredni odcinka którego końce ślizgają się po wzajemnie prostopadłych prostych, zakreśla elipsę (Rys. 2).
Wiedział to już Proklos (412-485). Uzasadnienie jest łatwe. Ponieważ

więc z zależności

mamy

a to jest równanie elipsy. Analogiczna sytuacja ma miejsce, gdy punkt zakreślający krzywą leży na przedłużeniu odcinka Mamy zatem kolejną obserwację:
Fakt. Jeśli punkty i
prostej
ślizgają się po wzajemnie prostopadłych prostych, to każdy inny punkt prostej
zakreśla elipsę.

Rys. 3.
Rezultat ten jest podstawą konstrukcji "cyrkla" do wykreślania elipsy o danym środku, danych kierunkach głównych i danych długościach osi (Rys. 3).
A jak wygląda sytuacja, gdy punkty i
ślizgają się po ramionach kąta
Problem ten rozstrzygnął w 1646 roku Frans van Schooten (Młodszy, 1615-1660). Był on holenderskim matematykiem związanym ze szkołą inżynierską w Lejdzie oraz uczniem i przyjacielem René Descartesa (Kartezjusza). W 1637 roku pomagał Kartezjuszowi w przygotowaniu ilustracji do pierwszego wydania traktatu Discours de la méthode..., który zawierał esej La géométrie. W 1649 roku van Schooten przetłumaczył na łacinę i wydał Geometrię Kartezjusza, wraz z licznymi komentarzami i uzupełnieniami (swoimi i swoich uczniów). Van Schooten stał się jednym z pierwszych matematyków promujących i rozpowszechniających nową Geometrię Kartezjusza. Znakomitym uczniem van Schootena był Christiaan Huygens.

Rys. 4.
Rozwiązanie van Schootena jest geometryczne i niezwykle pomysłowe. Niech dany będzie kąt różny od kąta prostego. Po ramionach tego kąta ślizga się odcinek
(Rys. 4). Jaką krzywą zakreśla wówczas punkt
należący do tego odcinka i nie będący jego końcem? Punkty
i
jednoznacznie wyznaczają okrąg o środku
opisany na trójkącie
Prosta
wyznacza średnicę
Wówczas proste
i
tworzą kąt prosty. Po przemieszczeniu się odcinka
do położenia
punkty
i
wyznaczają okrąg o środku
opisany na trójkącie
Prosta
wyznacza jego średnicę
Oczywiście
bo utworzone okręgi są przystające (gdyż kąt
wpisany w oba okręgi wyznacza w nich cięciwy równej długości). Ponadto kąty
i
są równe (cięciwy
i
są takiej samej długości, więc ich odległości od środków odpowiednich okręgów pozostają stałe). Analogicznie, kąty
i
są równe. W tej sytuacji, dla przystających okręgów łuk
jest takiej samej długości jak łuk
więc kąty wpisane oparte na tych łukach są równe, tj.
Ponieważ kąty te leżą po tej samej stronie prostej
więc punkt
leży na prostej
Z analogicznych powodów punkt
leży na prostej
Oznacza to, że ślad punktu
możemy wyznaczyć z ruchu odcinka
którego końce ślizgają się po wzajemnie prostopadłych prostych
i
Z wcześniejszych rozważań wiemy już, że w tym przypadku punkt
zakreśla łuk elipsy. Zatem mamy:
Twierdzenie (Frans van Schooten (Młodszy), 1646 r.). Jeśli punkty i
prostej
ślizgają się po ramionach kąta
to każdy inny punkt prostej
zakreśla elipsę.

Rys. 5.

Rys. 6. Każdy trójkąt da się zamieść odcinkiem przy odpowiednim ruchu

Rys. 7.
A może potrafimy coś powiedzieć o obszarach "zakreślanych" przez tak wędrujące odcinki? W Kalejdoskopie matematycznym Hugona Steinhausa wiele wyjaśniają rysunki (Rys. 5, 6) oraz tekst:
Gdy poruszamy zapałkę tak, żeby jej oba końce biegły po prostych przecinających się, to ruch jej jest identyczny z ruchem cięciwy mniejszego koła w systemie dwóch kół [patrz Rys. 1]. Trzeba tylko wziąć przecięcie prostych za środek dużego koła, a małe koło narysować przez środek dużego i oba końce zapałki.
Gdy końce odcinka ślizgają się po wzajemnie prostopadłych prostych, to zamiecie on obszar ograniczony asteroidą (Rys. 7).
Z przemieszczaniem odcinka na płaszczyźnie związanych jest wiele ciekawych i niebanalnych zagadnień, np.:
Twierdzenie (Hamnet Holditch, 1858 r.). Jeśli oba końce odcinka ślizgają się po krzywej zamkniętej a punkt
dzielący odcinek w stosunku
zakreśla krzywą
to różnica pól figur ograniczonych krzywymi
i
jest równa
(Patrz Rys. 8 oraz Delta 8/1984, Delta 10/1986.)
Problem (Sōichi Kakeya, 1917 r.). Na płaszczyźnie wyznaczyć zbiór o najmniejszym polu, w którym można odcinek jednostkowy obrócić o kąt co najmniej
O zmaganiach z tym problemem pisaliśmy też w Delcie 6/1983 i Delcie 4/2013).
Dwa przykłady zbiorów, w których możliwy jest obrót odcinka, pokazano na rysunku 9.