Rys. 1.

Wykażemy, że tak jest. Na małym okręgu ustalmy punkty i tak jak na rysunku 1. Gdy mały okrąg toczy się po łuku i kąt to przecina odcinek w takim punkcie że kąt Wówczas łuki oraz są tej samej długości. Oznacza to, że podczas toczenia małego okręgu punkt przesuwa się do punktu wzdłuż prostej co chcieliśmy uzasadnić.

Zauważmy, że w tym samym czasie punkt przesuwa się do punktu wzdłuż prostej Punkt z punktem są końcami średnicy małego okręgu (bo łuki i są równej długości), więc kąt jest prosty. Mamy więc dodatkową informację: podczas opisanego toczenia końce odcinka ślizgają się po wzajemnie prostopadłych średnicach większego okręgu.

Rys. 2.

Okazuje się, że:

Wiedział to już Proklos (412-485). Uzasadnienie jest łatwe. Ponieważ

więc z zależności

mamy

a to jest równanie elipsy. Analogiczna sytuacja ma miejsce, gdy punkt zakreślający krzywą leży na przedłużeniu odcinka Mamy zatem kolejną obserwację:

Rys. 3.

Rezultat ten jest podstawą konstrukcji "cyrkla" do wykreślania elipsy o danym środku, danych kierunkach głównych i danych długościach osi (Rys. 3).

A jak wygląda sytuacja, gdy punkty i ślizgają się po ramionach kąta Problem ten rozstrzygnął w 1646 roku Frans van Schooten (Młodszy, 1615-1660). Był on holenderskim matematykiem związanym ze szkołą inżynierską w Lejdzie oraz uczniem i przyjacielem René Descartesa (Kartezjusza). W 1637 roku pomagał Kartezjuszowi w przygotowaniu ilustracji do pierwszego wydania traktatu Discours de la méthode..., który zawierał esej La géométrie. W 1649 roku van Schooten przetłumaczył na łacinę i wydał Geometrię Kartezjusza, wraz z licznymi komentarzami i uzupełnieniami (swoimi i swoich uczniów). Van Schooten stał się jednym z pierwszych matematyków promujących i rozpowszechniających nową Geometrię Kartezjusza. Znakomitym uczniem van Schootena był Christiaan Huygens.

Rys. 4.

Rozwiązanie van Schootena jest geometryczne i niezwykle pomysłowe. Niech dany będzie kąt różny od kąta prostego. Po ramionach tego kąta ślizga się odcinek (Rys. 4). Jaką krzywą zakreśla wówczas punkt należący do tego odcinka i nie będący jego końcem? Punkty i jednoznacznie wyznaczają okrąg o środku opisany na trójkącie Prosta wyznacza średnicę Wówczas proste i tworzą kąt prosty. Po przemieszczeniu się odcinka do położenia punkty i wyznaczają okrąg o środku opisany na trójkącie Prosta wyznacza jego średnicę Oczywiście bo utworzone okręgi są przystające (gdyż kąt wpisany w oba okręgi wyznacza w nich cięciwy równej długości). Ponadto kąty i są równe (cięciwy i są takiej samej długości, więc ich odległości od środków odpowiednich okręgów pozostają stałe). Analogicznie, kąty i są równe. W tej sytuacji, dla przystających okręgów łuk jest takiej samej długości jak łuk więc kąty wpisane oparte na tych łukach są równe, tj. Ponieważ kąty te leżą po tej samej stronie prostej więc punkt leży na prostej Z analogicznych powodów punkt leży na prostej Oznacza to, że ślad punktu możemy wyznaczyć z ruchu odcinka którego końce ślizgają się po wzajemnie prostopadłych prostych i Z wcześniejszych rozważań wiemy już, że w tym przypadku punkt zakreśla łuk elipsy. Zatem mamy:

Rys. 5.

Rys. 6. Każdy trójkąt da się zamieść odcinkiem przy odpowiednim ruchu

Rys. 7.

A może potrafimy coś powiedzieć o obszarach "zakreślanych" przez tak wędrujące odcinki? W Kalejdoskopie matematycznym Hugona Steinhausa wiele wyjaśniają rysunki (Rys. 5, 6) oraz tekst:

Gdy końce odcinka ślizgają się po wzajemnie prostopadłych prostych, to zamiecie on obszar ograniczony asteroidą (Rys. 7).

Z przemieszczaniem odcinka na płaszczyźnie związanych jest wiele ciekawych i niebanalnych zagadnień, np.:

O zmaganiach z tym problemem pisaliśmy też w Delcie 6/1983 i Delcie 4/2013).

Dwa przykłady zbiorów, w których możliwy jest obrót odcinka, pokazano na rysunku 9.