Deltoid

Środkowe i pola

Delta, sierpień 2018

o artykule ...

Publikacja w Delcie: sierpień 2018
Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2018
Wersja do druku [application/pdf]: (61 KB)

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Środkowe przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości i dzieli on każdą z nich w stosunku $|2 1;$ licząc od wierzchołka trójkąta (rys. obok).

Niech $|[ℱ]$ oznacza pole figury $ℱ.$ W rozwiązaniach zadań o trójkątach przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku obok.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środkowe i pola»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środkowe i pola
Publikacja w Delcie: sierpień 2018
Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (61 KB)

Wykaż, że środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.

Rozwiązanie

Trójkąty $|CFA,$ mają podstawy równe $|1AB 2$ i wspólną wysokość z $|C.$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środkowe i pola»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środkowe i pola
Publikacja w Delcie: sierpień 2018
Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (61 KB)

$obrazek$

Rozwiązanie

$CE] [A[PBDC]$ gdyż $C]=[PDB] [PD$ oraz $[PEC]$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środkowe i pola»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środkowe i pola
Publikacja w Delcie: sierpień 2018
Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (61 KB)

$obrazek$

Punkty $,N |K, L, M$ są środkami boków czworokąta wypukłego $| ABCD.$ Wykaż, że suma pól ciemnych trójkątów równa jest polu jasnego czworokąta.

Rozwiązanie

Odcinki $AL|$ i $CN |$ są środkowymi odpowiednio w trójkątach $ABC$ i $A. CD |$ Stąd i z zadania 1 mamy $1 ]=2[ABC][ABL] |$ Podobnie $K]+[BDM]=12[ABCD].[BD$ Zatem $]=[BMDK], [ABL]$ co, po odjęciu od obu stron ich części wspólnej, kończy dowód.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środkowe i pola»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środkowe i pola
Publikacja w Delcie: sierpień 2018
Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (61 KB)

Wykaż, że środkowe dzielą trójkąt na sześć trójkątów o równych polach.

Rozwiązanie

Uwaga

Inne rozwiązanie zadania 4 znaleźć można w deltoidzie 11/2009.

Polecam również zad. 8 tamże i zad. 1 z deltoidu 5/2016.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środkowe i pola»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środkowe i pola
Publikacja w Delcie: sierpień 2018
Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (61 KB)

Punkt $|T$ należy do wnętrza trójkąta $ABC$ oraz $[ABT |$ Wykaż, że $T$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ABC.$

Rozwiązanie

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środkowe i pola»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środkowe i pola
Publikacja w Delcie: sierpień 2018
Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (61 KB)

Rozwiązanie

$obrazek$

Niech przekątne równoległoboku mają wspólny środek $|P.$ Odcinki $|AP$ i $BL |$ oraz $CP$ i $BK |$ są zatem środkowymi odpowiednio w trójkątach $|ABD$ i $. BCD$ Trójkąty te mają pola równe $1[ABCD] 2$ i na mocy zadania 4 ich środkowe dzielą każdy z nich na sześć trójkątów o równych polach. Stąd $12111 ]+[BMN]+[CKM]=(6+6+6)⋅2[ABCD]=3[ABCD] [ALN .$ Ponadto $=23AP=23⋅12AACN ,$ podobnie $C=13AC, M$ więc też $M=13AC. N |$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środkowe i pola»Zadanie 7

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środkowe i pola
Publikacja w Delcie: sierpień 2018
Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (61 KB)

Wykaż, że ze środkowych dowolnego trójkąta można zbudować trójkąt.

Rozwiązanie

$obrazek$

X' oznacza obraz punktu X.

Obróćmy trójkąt $|ABC$ o $○ 180 |$ wokół punktu $. D$ Boki trójkąta $|CFE$ mają długości $1 FE | ′= 2AA$ oraz $CF.$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środkowe i pola»Zadanie 8

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środkowe i pola
Publikacja w Delcie: sierpień 2018
Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (61 KB)

Wyznacz pole trójkąta o środkowych długości: (a) 9, 12, 15, (b) 12, 15, 18.

Rozwiązanie

$obrazek$

X' oznacza obraz punktu X.

(a) Niech $=15,BE=12,CF |AD$ Obróćmy trójkąt $ABC$ o $○ 180 |$ wokół punktu $. |D$ Trójkąt $|SS′C$ ma wówczas boki o długościach $=2⋅5SS′= 2⋅ 13AD ,S′ C$ oraz $CS$ jest więc prostokątny. Stąd jego pole równe jest $|1⋅(2⋅3) ⋅(2⋅4) = 24. 2$ Jednocześnie na mocy zadania 4 wiemy, że pole to równe jest $2 |6$ pola trójkąta $ABC,$ zatem $|[ABC] .$

Wskazówka

(b) Postępuj analogicznie, skorzystaj z wzoru Herona.

Wzór Herona na pole trójkąta: $√ ---------------------- | p(p − a)(p − b)(p −c),$
gdzie $a,b,c$ to boki, $p$ - połowa obwodu.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środkowe i pola»Zadanie 9

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środkowe i pola
Publikacja w Delcie: sierpień 2018
Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (61 KB)

Wskazówka

Narysuj równoległobok $|ABCE.$

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności