Deltoid

Pasujemy do siebie!

Delta, marzec 2018

o artykule ...

Publikacja w Delcie: marzec 2018
Publikacja elektroniczna: 28 lutego 2018
Wersja do druku [application/pdf]: (57 KB)

W wielu zadaniach, w których występują kąty lub ich sumy, przydatne bywa przeniesienie pewnych figur tak, by kąty te znalazły się obok siebie. Szczególnie wygodne jest to wtedy, gdy suma pewnych kątów równa jest np. $|90○$ lub $|360○;$ a także, gdy niektóre z danych odcinków są równej długości.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Pasujemy do siebie!»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Pasujemy do siebie!
Publikacja w Delcie: marzec 2018
Publikacja elektroniczna: 28 lutego 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (57 KB)

Dane są trzy kwadraty, ustawione jak na rysunku. Oblicz $|α+ β + γ.$

Rozwiązanie

Kolorowy czworokąt na rysunku obok jest kwadratem, gdyż jego boki są przekątnymi prostokątów o wymiarach $2 × 1,$ na przemian "pionowych" i "poziomych". Przy wierzchołku $A$ schodzą się kąty $, α β,γ$ z treści zadania: między odpowiednimi bokami a przekątnymi w kolorowym kwadracie i w prostokątach $2 × 1$ oraz $3 ×1.$ Stąd $|α +β + γ = 90 ○.$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Pasujemy do siebie!»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Pasujemy do siebie!
Publikacja w Delcie: marzec 2018
Publikacja elektroniczna: 28 lutego 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (57 KB)

Rozwiązanie

Rys. 1

Z równości kątów w treści zadania wynika, że trójkąty $APB, CPD,$ $|EPF$ są prostokątne równoramienne. Stąd

AP = BP,CP = DP ,EP = FP

oraz

○ ○ ○ ?BP C +?DPE +?FPA = 360 − 3⋅90 = 90 .

Rys. 2

Wobec tego trójkąty $BP C, DPE, FPA$ oraz odbity symetrycznie trójkąt prostokątny równoramienny $APB$ można ustawić jak na rysunku 2 Kolorowa łamana ma wówczas długość $|BC + DE +FA,$ nie mniejszą od odcinka $|AB$ łączącego jej końce. Dowód dla odcinków $CD |$ i $EF |$ przebiega analogicznie.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Pasujemy do siebie!»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: LVIII Olimpiada Matematyczna
Zadanie pochodzi z artykułu Pasujemy do siebie!
Publikacja w Delcie: marzec 2018
Publikacja elektroniczna: 28 lutego 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (57 KB)

Dany jest pięciokąt wypukły $ABCDE,$ w którym $BC | = CD, DE =$ $○ |?BCD = ?DEA = 90 .$ Udowodnij, że z odcinków o długościach $|AC, CE, EB$ można zbudować trójkąt. Wyznacz miary jego kątów, znając miarę $α$ kąta $ACE$ i miarę $β$ kąta $BEC. |$

Rozwiązanie

Suma kątów wewnętrznych pięciokąta to $540 | ○,$ więc z założenia wnioskujemy, że w rozważanym pięciokącie $?A + ?B + ?D = 540○− 2 ⋅90○== 360 ○.$ Stąd i z danych równości boków wynika, że z trójkątów $EAB, ABC$ i $CDE$ można złożyć trójkąt $|CEM$ tak jak na rysunku, o bokach żądanej długości: $|MC = AC, CE,$

Ponadto skoro $○ ?BCD = 90 ,$ to także $○ ?ACM = 90$ (gdyż kąty $|ACB$ i $MCD |$ są przystające), a więc $?ECM | = 90○ −α .$ Analogicznie $|?CEM = 90○− β$ i wobec tego

?CME = 180○ −?ECM − ?CE

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Pasujemy do siebie!»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: LV Olimpiada Matematyczna
Zadanie pochodzi z artykułu Pasujemy do siebie!
Publikacja w Delcie: marzec 2018
Publikacja elektroniczna: 28 lutego 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (57 KB)

W sześciokącie wypukłym $ABCDEF$ wszystkie boki są równej długości oraz $?A + ?C +?E = ?B +?D +?F.$ Udowodnij, że przekątne $|AD, BE$ i $|CF$ przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Suma kątów wewnętrznych sześciokąta to $○ 720 | ,$ więc z założenia wnioskujemy, że $?A + ?C +?E = 360○.$ Stąd i z równości wszystkich boków sześciokąta wynika, że z trójkątów równoramiennych $|FAB, BCD, DEF$ można złożyć trójkąt $|BFD ′$ w sposób przedstawiony na rysunku.

Stąd czworokąty $FABA ′,BCDA$ są rombami, a więc $|ABDE$ jest równoległobokiem (bo odcinki $AB$ i $DE |$ są równe i równoległe). Wobec tego przekątne $AD$ i $BE |$ mają wspólny środek. Analogicznie przekątne $|AD$ i $CF |$ mają wspólny środek, co kończy dowód.

Zadanie 1 rozwiązano inaczej w deltoidzie 5/2009. Zadanie 2 pochodzi z książki W. Pompe Wokół obrotów (Wyd. Szkolne Omega, 2016). Zadania 3 i 4 pochodzą z LVIII i LV Olimpiady Matematycznej.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności