Tak samo, ale zupełnie inaczej

Geometrzy od dawna marzyli o współrzędnych jednorodnych, czyli takich $|n$ -tkach liczb (dalej dla uproszczenia będzie mowa o parach i trójkach) przyporządkowanych punktom, że gdy wszystkie liczby w $n$ -tce pomnożymy przez tę samą liczbę, to nowa $|n$ -tka będzie współrzędnymi tego samego punktu.

Traci się w ten sposób jednoznaczność współrzędnych danego punktu, ale zyskuje się to, że wszelkie sytuacje geometryczne będą opisywane wyłącznie funkcjami jednorodnymi. To wielka wygoda, bo okazuje się, że dla $|k$ naturalnych

funkcja jednorodna w stopniu $k$ i gładka w stopniu $k$ to zawsze wielomian.

Dowód tego faktu jest bardzo prosty (Euler), ale wymaga - rzecz jasna - użycia pojęcia pochodnej, więc go pominę.

Aby ten cel osiągnąć, Julius Plücker zaproponował współrzędne trójkątowe zwane też trójliniowymi.

Jak się łatwo domyślić, potrzebny jest w tym celu trójkąt, ale trójkąt, w którym dysponujemy całymi prostymi zawierającymi jego boki. Współrzędne punktu to będą odległości od tych prostych, przy czym odległość będziemy brali ze znakiem " $+$ ", gdy punkt leży po tej samej stronie prostej, co nieleżący na niej wierzchołek trójkąta, i ze znakiem " $|−$ " w przeciwnym przypadku.

Jak widać, na rysunku 1 punkt $P$ ma wszystkie współrzędne dodatnie. Takimi też będę się posługiwał, pozostawiając Czytelnikowi (łatwe) rozpatrzenie innych przypadków.

Oznaczmy pole trójkąta $ABC$ przez $12 -∆ .$ Współrzędnymi $P$ jest więc trójka $|(k,l,m).$ Zauważmy też, że

a ⋅k + b ⋅l + c⋅m

To proste spostrzeżenie pozwala potwierdzić, że współrzędne te są faktycznie jednorodne, bo jednostki miar długości czy pola możemy dobrać dowolnie.

Zaletą dodatkową współrzędnych trójkątowych jest to, iż proste mają w tych współrzędnych równania liniowe. Sprawdźmy to.

Z rysunku 2 mamy

x − k PX ----- = ---. p − k PQ

Podobnie

y− l PX z− m -----= ----= -----. q− l PQ r− m

Teraz potrzebna nam będzie trójka $|(α,β,γ )$ spełniająca dwa warunki

α⋅k + β ⋅l + γ⋅m = 0 i α ⋅p+ β ⋅q+ γ ⋅r = 0.

Takie warunki użytkownicy algebry liniowej nazywają znikaniem iloczynu skalarnego, a poszukiwana trójka to dla nich iloczyn wektorowy. Nie trzeba jednak tych pojęć znać, by sprawdzić poprawność zgadniętej odpowiedzi.

Taką trójką jest $(α,β ,γ) = (lr− mq, mp − kr,kq − lp).$ Z udowodnionych wyżej proporcji mamy więc $α (x− k) + β(y −l) +γ (z− m) = 0,$ a na koniec $|αx +β y+ γz = 0$ - i takie jest równanie prostej $|PQ.$

Bardzo ładnie, ale co z tego za pożytek?

Aby go zobaczyć, trzeba spojrzeć na to oczyma kolegi Plückera (to nie żart: byli rówieśnikami i bliskimi znajomymi), Ferdinanda Möbiusa.

Möbius postanowił zamiast korzystać z boków trójkąta skorzystać z jego wierzchołków. Co więcej, odwołał się do fizyki, a konkretnie użył środków ciężkości. Już od czasów Archimedesa wiadomo, że grawitacja działa tak "w dół", jak "do góry" (balony, statki na wodzie). Dlatego mamy do czynienia z ciężarami i wyporami, co w szkolnej fizyce prowadzi do pojęcia dźwigni jedno- bądź dwustronnej.

Gdy obciążymy dwa punkty $|A$ i $B, |$ to ich środek ciężkości może wypaść w dowolnym punkcie prostej $|AB.$ Dokładniej - obowiązuje zasada "ramię razy siła", czyli gdy w punkcie $A$ umieścimy ciężar/wypór $|mA,$ a $mB |$ w punkcie $B, |$ wówczas środek ciężkości będzie spełniał warunek $−− ASm⋅A+$ Możemy parę $(mA,$ uznać za współrzędne punktu $|S$ na prostej $AB.$ Takie współrzędne Möbius nazwał współrzędnymi barycentrycznymi. Czytelnik zechce sprawdzić, że współrzędne punktów na poniższym rysunku poniżej mogą być następujące: $P = (2,−1),Q$ Mogą, bo współrzędne barycentryczne są jednorodne - przecież obciążać punkty możemy równie dobrze w gramach, jak w tonach.

Aby wprowadzić współrzędne barycentryczne na płaszczyźnie, trzeba na niej wskazać odpowiednik zasady "ramię razy siła". A oto i on

Jeśli środkiem ciężkości $(A,mA),(B,mB),(C,mC)$ jest punkt $|P,$ to $mAm B mC= ∆ BCP C∆APABP , ∆$ gdzie $YZ ∆ X$ to pole trójkąta $|XYZ.$

Rzeczywiście, mamy bowiem (Rys. 3)

mA XB ∆BCX ∆BPX ∆BCX − ∆BPX ∆ BCP ∆BCP --- = ----= ----- = -----= ------------= ----- = ----. CPCPAX mB AX ∆ AX ∆AX ∆AX − ∆ ∆ APC ∆CAP

Równość pozostałych stosunków uzasadniamy analogicznie.

Kolejność wierzchołków przy "deltach" jest pomyślana tak, by rachunek przebiegał równie dobrze dla punktów leżących poza wnętrzem trójkąta $|ABC$ (Rys. 4) - trzeba tylko zamienić pojęcie pola na pojęcie pola zorientowanego, czyli wyróżnić jeden sposób obiegania wierzchołków trójkąta (np. "zgodnie z ruchem wskazówek zegara", czyli ruchem Słońca na naszym niebie) i uznać pola obiegane w ten sposób za dodatnie, a pozostałe za ujemne.

Teraz obciążenia wierzchołków trójkąta odpowiadające punktowi $|P$ możemy uznać za jego współrzędne barycentryczne.

I tu warto porównać rysunki 1 i 3 - przecież w obu zainteresowanie skoncentrowane jest na polach trójkątów $APB, BP C,CPA.$ Po chwili zastanowienia dochodzimy do wniosku, że Plücker i Möbius wymyślili to samo, a tylko inaczej na to spojrzeli.

Co więcej, wymyślone przez nich współrzędne są w doskonałej zgodności ze zwykłymi współrzędnymi kartezjańskimi. Uzasadnienie tego jest na rysunku 5

Punkty $|A,B,C$ potraktujmy jak wyznaczające kartezjański układ współrzędnych punkty $|(1,0),(0,1),(0,0).$ Rozpatrzmy, jak trzeba obciążyć te punkty, by środek ciężkości wypadł w punkcie o kartezjańskich współrzędnych $|(x,y).$ Ze współrzędnych barycentrycznych tego punktu wybierzmy te, które sumują się do 1 (wystarczy podzielić każdą ze współrzędnych przez ich sumę - o ile jest niezerowa) - takie szczególne współrzędne nazywają się arealne. Czytelnik z łatwością zauważy, że obciążenie punktu $(1,0)$ to właśnie będzie $x.$ Podobnie $|(0,1)$ należy obciążyć ciężarem/wyporem $y.$ No, a $|(0,0)?$ Oczywiście, $1− x −y,$ bo to współrzędne arealne, czyli sumujące się do 1.

Dziś monografia Plückera Analytisch-geometrische Entwicklungen jest praktycznie zapomniana, natomiast dzieło Möbiusa Der barycentrische Calcul cieszy się znacznym szacunkiem. Powód jest niebagatelny, a da się pokazać już w przypadku współrzędnych na prostej: punktu o współrzędnych barycentrycznych $(1,−1)$ na prostej nie ma! Bo gdy znaki są różne, punkt leży poza odcinkiem $AB$ z tej strony, z której wartość bezwzględna obciążenia jest większa (proszę porównać z rysunkiem na górze strony!), a tutaj... Podobnie nie ma na płaszczyźnie punktów, których suma współrzędnych barycentrycznych znika.

I Möbius zaproponował, by płaszczyznę (prostą, przestrzeń) uzupełnić o te punkty. I tak wskazał, że jego współrzędne stosują się także w geometrii rzutowej (bo tak nazywają się pouzupełniane w ten sposób przestrzenie różnego wymiaru), a geometria rzutowa to , jak za Cayleyem mówią do dziś geometrzy, cała geometria.