Przesuwanie w zadaniach olimpijskich
W tym artykule omówimy pewną bardzo pożyteczną technikę - tzw. przesuwanie. Polega ona na tym, że niektóre obiekty przesuwamy o pewien wektor i udowadniamy, że teza zadania jest niezmiennicza ze względu na wykonanie tej operacji. Ta metoda pozwala na sprowadzenie rozwiązywanego zadania do znacznie prostszego. Bardzo często ten prostszy przypadek ma jakiś rodzaj symetrii, z której łatwo wywnioskować tezę. Zanim przejdziemy do rozwiązywania zadań, odnotujmy dwie proste własności opisanej operacji.

Rys. 1
Własność 1. Jeśli punkty i
przesuniemy o wektor
otrzymując punkty
i
to przesunięcie prostej
o wektor
da nam w rezultacie prostą
(Rys. 1).

Rys. 2
Własność 2. Dane są punkty i
oraz taki punkt
na prostej
że
Jeśli punkt
przesuniemy o wektor
otrzymując punkt
a punkt
na prostej
spełnia
to
(Rys. 2).
Łatwe dowody powyższych własności pozostawiamy Czytelnikowi. Zauważmy w szczególności, że z drugiej własności wynika, iż środek odcinka przesunie się o wektor
zaś punkt symetryczny do
względem punktu
o wektor
Uzbrojeni w tytułową metodę i powyższe własności możemy przejść do rozwiązania kilku przykładów.
Przykład 1 (Twierdzenie Hjelmsleva). Dane są dwa odcinki i
jednakowej długości. Punkty
i
leżą odpowiednio na odcinkach
i
przy czym
Udowodnić, że środki odcinków
i
leżą na jednej prostej.
Rozwiązanie. Jeśli przesuniemy odcinek o pewien wektor
to punkt
także przesunie się o wektor
Ponadto środki odcinków
i
przesuną się o wektor
Zatem operacja przesuwania nie wpływa na prawdziwość tezy.

Rys. 3
Przesuńmy zatem odcinek o wektor
(Rys. . 3). Obrazem punktu
jest, oczywiście, punkt
zaś niech
i
będą obrazami odpowiednio punktów
i
w tym przesunięciu. Wystarczy udowodnić, że punkt
oraz środki odcinków
i
są współliniowe. Jednakże z równości

i twierdzenia Talesa wynika, że odcinki i
są równoległe, a więc ich środki leżą na środkowej trójkąta

Rys. 4
Nietrudno zauważyć, że opisaną metodą można rozwiązać zadanie ogólniejsze.
Zadanie. Dane są dwa odcinki i
(Rys. 4). Punkty
i
leżą odpowiednio na odcinkach
i
przy czym

Niech będą takimi punktami leżącymi odpowiednio na odcinkach
i
że

Wykazać, że punkty i
leżą na jednej prostej.
Przejdźmy teraz do następnego przykładu.
Przykład 2 (III ETAP 57 OM). Dany jest sześciokąt wypukły w którym
oraz
Dowieść, że proste łączące środki przeciwległych boków tego sześciokąta przecinają się w jednym punkcie.
Rozwiązanie. Zauważmy, że jeśli przesuniemy trójkąt o wektor
to środki wszystkich boków sześciokąta
przesuną się o wektor
W takim razie każda z rozważanych w treści zadania prostych przesunie się także o wektor
więc teza zadania jest niezmiennicza ze względu na tę operację.

Rys. 5
Skoro trójkąty i
są przystające, to mają jednakowe okręgi opisane (Rys. 5). Przesuńmy więc tak trójkąt
aby rozważane okręgi pokryły się. Niech
będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie
zaś
obrazem trójkąta
w tym przesunięciu. Wystarczy udowodnić, że każda z prostych łączących środki przeciwległych boków sześciokąta
przechodzi przez punkt
Skoro to czworokąt
jest trapezem równoramiennym o podstawach
i
Prosta łącząca środki boków
i
jest jego osią symetrii, a więc na niej musi leżeć środek okręgu opisanego na tym trapezie, czyli punkt
Analogicznie dowodzimy, że punkt
należy do dwóch pozostałych prostych łączących środki przeciwległych boków sześciokąta
W kolejnym przykładzie przekonamy się, że metoda przesuwania może być także skuteczna w zadaniach o polach.
Przykład 3. W sześciokącie wypukłym przeciwległe boki są równoległe. Udowodnić, że trójkąty
i
mają równe pola.

Rys. 6

Rys. 7
Rozwiazanie. Wykażemy najpierw, że przesuwanie trójkąta o wektor
równoległy do boków
i
nie ma wpływu na prawdziwość tezy (Rys. 6 i Rys. 7). Niech bowiem
będzie odległością między prostymi
i
zaś
i
takimi punktami odpowiednio na bokach
i
że proste
są równoległe do prostej
Wtedy przed przesunięciem mamy

zaś po przesunięciu oba pola wynoszą odpowiednio

albo

Innymi słowy, podczas opisanej operacji oba pola zmieniają się o jednakową wielkość, a więc są równe przed przesunięciem wtedy i tylko wtedy, gdy są równe po przesunięciu.

Rys. 8
Przyjmijmy bez straty dla ogólności, że i przesuńmy trójkąt
o wektor
otrzymując w wyniku trójkąt
(Rys. 8). Wobec obserwacji poczynionej w pierwszym akapicie wystarczy udowodnić, że trójkąty
i
mają równe pola. Ponieważ przesunięcie zachowuje równoległość, to mamy

W takim razie

Powyższe rozumowanie pozostaje, oczywiście, prawdziwe, gdy punkty i
pokrywają się.
Opisane rozwiązanie można dokończyć, inaczej wykonując jeszcze raz operacje z pierwszego akapitu rozwiązania, uzyskując trapez.
Ostatni nasz przykład dotyczy sumy długości odcinków.
Przykład 4 (I etap 52 OM). Okrąg dzieli każdy bok rombu na 3 odcinki. Malujemy otrzymane odcinki kolejno na czerwono, zielono i biało, zaczynając od wierzchołka rombu i poruszając się po jego obwodzie w ustalonym kierunku. Wykazać, że suma długości odcinków czerwonych jest równa sumie długości odcinków białych.

Rys. 9

Rys. 10
Rozwiazanie. Niech będzie danym rombem. Oznaczmy przez
kolejne punkty przecięcia danego okręgu z bokami rombu. Należy wykazać, że

albo

Jeśli przesuniemy dany okrąg o pewien wektor równoległy do boku
(Rys. 9), to odcinki
i
wzrosną o
(albo zmaleją, jeśli zwrot był przeciwny do zwrotu wektora
), zaś odcinki
i
zmaleją o
(albo wzrosną, jeśli zwrot był przeciwny do zwrotu wektora
). W takim razie przy takiej operacji liczba
nie zmienia się. Jeśli teraz przesuniemy dany okrąg o pewien wektor
prostopadły do boku
(Rys. 10), to odcinki
i
wzrosną o pewną wartość, zaś odcinki
i
zmaleją o pewną wartość (lub na odwrót w obu przypadkach, gdy zwrot wektora jest w kierunku
). Zatem i w tym przypadku liczba
nie zmieni się. Skoro dowolny wektor można przedstawić w postaci sumy wektora równoległego do
i prostopadłego do
to przesuwanie danego okręgu nie zmienia wartości sumy
To samo dotyczy sumy
Przesuńmy zatem tak dany okrąg, aby jego środek pokrył się ze środkiem danego rombu. Wobec poprzednich rozważań wystarczy dowieść tezy w tym przypadku. To jednak natychmiast wynika z symetrii problemu.
Na koniec przedstawiamy kilka zadań, które można rozwiązać opisaną metodą.