Deltoid

Koła, półkola i pola

Joanna Jaszuńska

Delta, luty 2018

o artykule ...

Publikacja w Delcie: luty 2018
Publikacja elektroniczna: 1 lutego 2018
Wersja do druku [application/pdf]: (111 KB)

Narzędzia
Obiekty: Figury , Okręgi
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Koła, półkola i pola»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Koła, półkola i pola
Publikacja w Delcie: luty 2018
Publikacja elektroniczna: 1 lutego 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (111 KB)

Każdy z okręgów na rysunku ma promień $|r$ i przechodzi przez środki obu pozostałych. Wyznacz pole kolorowego obszaru.

Rozwiązanie

Narzędzia
Obiekty: Figury , Okręgi
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Koła, półkola i pola»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Koła, półkola i pola
Publikacja w Delcie: luty 2018
Publikacja elektroniczna: 1 lutego 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (111 KB)

Dla każdego z rysunków (a) i (b) wykaż, że pole obszaru kolorowego równe jest polu obszaru szarego.

Rozwiązanie

a): Dodajmy do każdego z obszarów (kolorowego i szarego) białe fragmenty małych kół. Kolorowy obszar uzupełnimy w ten sposób do pełnych czterech małych kół, szary zaś - do pełnego dużego koła. Ale $4 πr2 = π(2r)2,$ co kończy dowód.
b): Na mocy powyższej obserwacji, łączne pole czterech małych kół równe jest polu dużego koła. Wobec tego fragmenty dużego koła przykryte przez małe koła dwukrotnie (obszar kolorowy) mają pole równe fragmentom nieprzykrytym wcale (szary obszar).

Narzędzia
Obiekty: Figury , Okręgi
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Koła, półkola i pola»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Koła, półkola i pola
Publikacja w Delcie: luty 2018
Publikacja elektroniczna: 1 lutego 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (111 KB)

Średnicę koła o promieniu $|1/2$ podzielono na równe części i narysowano półokręgi jak na rysunku. Wykaż, że jednobarwne obszary mają równe pola i obwody.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $k$ liczbę części i przez $P$ pole półkola o średnicy $|1/k.$ Wówczas pole półkola o średnicy $n$ -krotnie większej równe jest $|n2P.$ Ponadto różnica pól półkoli o średnicy $(n + 1)$ -krotnie większej i $n$ -krotnie większej wynosi $((n + 1)2 − n2)P = (2n + 1)P.$

Pola poszczególnych części połowy danego koła są zatem kolejnymi nieparzystymi wielokrotnościami $P,$ a pola jednobarwnych obszarów to kolejno $P$ razy: $|1+ (2k− 1),3+ (2k − 3),5+ (2k −5),...,(2k − 1) + 1,$ czyli zawsze $P ⋅2k,$ a więc istotnie wszystkie są równe.

Obwód każdego z obszarów składa się z 3 lub 4 półokręgów o sumie średnic równej $1+ 1 = 2.$ Półokrąg o średnicy $2$ ma długość $|π$ ; półokręgi o średnicach sumujących się do $2$ również mają taką łączną długość.

Stąd obwód każdego z rozważanych obszarów równy jest $π,$ czyli obwodowi wyjściowego koła.

Narzędzia
Obiekty: Figury , Okręgi
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Koła, półkola i pola»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Koła, półkola i pola
Publikacja w Delcie: luty 2018
Publikacja elektroniczna: 1 lutego 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (111 KB)

W dane półkole "wpisano" dwa kwadraty jak na rysunku. Dla jakiego położenia punktu $B$ suma pól tych kwadratów jest największa?

Rozwiązanie

Oznaczmy wierzchołki oraz długości boków kwadratów jak na rysunku i niech punkt $|P$ dzieli odcinek $AE$ tak, że $AP |$ Na mocy twierdzenia Pitagorasa $2=a2+b2=PF2, |PD$ czyli $=PF. PD$ Punkt $P$ leży więc nie tylko na średnicy półkola, ale też na symetralnej jego cięciwy $F,D$ jest więc środkiem półkola.

Wobec tego suma pól kwadratów $a2 + b2,$ jak już wiemy równa $2,PD$ równa jest kwadratowi promienia półkola, nie zależy więc od położenia punktu $B.$

Narzędzia
Obiekty: Figury , Okręgi
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Koła, półkola i pola»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Koła, półkola i pola
Publikacja w Delcie: luty 2018
Publikacja elektroniczna: 1 lutego 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (111 KB)

Punkty $|A,$ leżą w tej kolejności na jednej prostej, przy czym $|AB$ Narysowano półokręgi jak na rysunku, punkty $E$ i $F$ są środkami dwóch z nich. Wykaż, że pole szarego obszaru równe jest polu koła o średnicy $EF.$

Rozwiązanie

Pole koła $π r2$ to $π /2$ razy pole kwadratu weń wpisanego (równe $2r2$ ). Zastąpmy więc każde z półkoli odpowiednią połówką kwadratu. Uzyskujemy w ten sposób kwadrat wpisany w koło o średnicy $EF$ (szczegóły dowodu pozostawiam Czytelnikowi).

Dowód ten pochodzi od R.B. Nelsena, fakt zaś - od Archimedesa.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności