Deltoid

Warto (się) rozwijać

Joanna Jaszuńska

Delta, czerwiec 2017

o artykule ...

Publikacja w Delcie: czerwiec 2017
Publikacja elektroniczna: 31 maja 2017
Wersja do druku [application/pdf]: (146 KB)

Jeśli chcemy wyznaczyć długość pewnej krzywej lub łamanej, często warto ją rozwinąć albo w inny sposób rozprostować.

Narzędzia
Obiekty: Figury , Krzywe
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Warto (się) rozwijać»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Warto (się) rozwijać
Publikacja w Delcie: czerwiec 2017
Publikacja elektroniczna: 31 maja 2017
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (146 KB)

Winorośl wyrasta u podnóża drzewa i pnąc się równomiernie, owija jego pień siedmiokrotnie. Obwód pnia jest równy 3 m, a winorośl dorasta do wysokości 20 m. Jaka jest jej długość?

Rozwiązanie

Przetoczmy pień o siedem pełnych obrotów tak, by odwinąć z niego winorośl. Skoro pięła się ona równomiernie, to po takim rozwinięciu utworzy prosty odcinek, będący przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych 20 m i $7 ⋅3 m = 21 m.$ Stąd na mocy twierdzenia Pitagorasa długość winorośli to 29 m.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Krzywe
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Warto (się) rozwijać»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Warto (się) rozwijać
Publikacja w Delcie: czerwiec 2017
Publikacja elektroniczna: 31 maja 2017
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (146 KB)

Okrąg $|O 1$ jest wpisany w trójkąt $ABC,$ w którym $AB | = 10$ i $AC = BC = 13.$ Okręgi $|O2,O3,O4,...$ są styczne do boków $AC, BC$ oraz dla każdego $n ⩾ 2$ okrąg $|On$ jest styczny zewnętrznie do okręgów $On−1$ i $|On+1.$ Wyznacz sumę obwodów wszystkich okręgów $O1,O2,O3,...$

Rozwiązanie

Suma długości średnic danych okręgów równa jest wysokości trójkąta poprowadzonej z wierzchołka $C,$ która z kolei z twierdzenia Pitagorasa ma długość 12. Okrąg o średnicy $2r$ ma obwód $2π r,$ zatem szukana suma obwodów wszystkich okręgów to $12π.$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty , Krzywe
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Warto (się) rozwijać»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Warto (się) rozwijać
Publikacja w Delcie: czerwiec 2017
Publikacja elektroniczna: 31 maja 2017
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (146 KB)

Dany jest dwunastokąt foremny $AAA ...A 123 12$ o środku $O,$ przy czym $|OA1 = 1.$ Punkt $|B1$ jest rzutem $A1$ na odcinek $OA2,$ punkt $B2$ jest rzutem $|B1$ na $|OA3,$ punkt $B3$ jest rzutem $B2$ na $|OA4$ itd. Wyznacz długość łamanej $A1B1B2B3 ...$

Rozwiązanie

Trójkąty $|OA1B1$ oraz $|OBiBi+1$ mają kąty po $|30○,60○,90○,$ gdyż każdy z nich z założenia jest prostokątny i ma kąt $|360○/12 = 30○.$ Można wobec tego ułożyć je w sposób przedstawiony na rysunku. Kąt pomiędzy sąsiadującymi teraz odcinkami rozważanej łamanej jest wówczas równy $|90○+ 30○+ 60○ = 180 ○.$

Stąd otrzymana figura także jest trójkątem o kątach $○ ○ ○ |30 ,60 ,90 ,$ przy czym jedna jego przyprostokątna ma długość 1, a suma pozostałych dwóch boków to szukana długość łamanej. Jest ona wobec tego równa $-- |2+ √ 3,$ gdyż trójkąt ten jest połową trójkąta równobocznego o boku 2.

Uwaga

Zadanie można też rozwiązać, sumując szereg

√ -- √ -- 2 √ -- 3 1-+ 1-⋅--3+ 1-⋅(--3 ) + 1-⋅(--3 ) + ... 2 2 2 2 2 2 2

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty , Krzywe
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Warto (się) rozwijać»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Warto (się) rozwijać
Publikacja w Delcie: czerwiec 2017
Publikacja elektroniczna: 31 maja 2017
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (146 KB)

Kolejne wierzchołki pewnego czworokąta leżą na kolejnych bokach kwadratu o boku $2,5.$ Wykaż, że obwód tego czworokąta jest większy od 7.

Rozwiązanie

Przestawmy fragmenty kwadratu tak, jak na rysunku. Obwód rozważanego czworokąta to teraz długość kolorowej łamanej. Jest ona nie mniejsza od odcinka łączącego jej końce, czyli od $√-- |5 2,$ co z kolei jest większe od 7.

O innych zastosowaniach podobnych obrazków przeczytać można w deltoidzie 1/2012.

Zadania domowe

Narzędzia
Obiekty: Bryły , Krzywe
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Warto (się) rozwijać»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Warto (się) rozwijać
Publikacja w Delcie: czerwiec 2017
Publikacja elektroniczna: 31 maja 2017
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (146 KB)

Na stole stoi stożek, w pewnym jego punkcie siedzi pająk. Chciałby on przespacerować się najkrótszą możliwą drogą dookoła stożka i wrócić do punktu wyjścia. Którędy powinien pójść?

Wskazówka

Warto rozciąć i rozwinąć daną powierzchnię boczną. Nie zawsze jednak najkrótsza droga odpowiada odcinkowi łączącemu odpowiednie dwa punkty tak uzyskanej płaskiej figury! Ku przestrodze polecam deltoid 7/2015.

Narzędzia
Obiekty: Bryły , Krzywe
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Warto (się) rozwijać»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Warto (się) rozwijać
Publikacja w Delcie: czerwiec 2017
Publikacja elektroniczna: 31 maja 2017
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (146 KB)

Na stole stoi szklanka, jej dno jest lepkie od soku. W pewnym miejscu wewnątrz siedzi mucha, w innym pająk. Pająk chce dotrzeć do muchy najkrótszą możliwą drogą, ale omijając sok. Którędy powinien pójść? W jaki sposób zmieni się rozwiązanie, jeśli mucha siedzi wewnątrz, a pająk na zewnątrz szklanki?

Wskazówka

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności