O własnościach prostej Simsona

W niniejszym artykule przybliżymy własności jednej z najsłynniejszych prostych w geometrii euklidesowej - prostej Simsona. Jej odkrycie przypisywane jest szkockiemu matematykowi, Robertowi Simsonowi, choć w żadnej jego pracy nie znajdujemy wzmianki o niej.

Twierdzenie 1 (Simson). Dany jest trójkąt $|ABC$ wpisany w okrąg $ω$ oraz punkt $P |$ leżący na tym okręgu. Rzuty prostokątne punktu $P |$ na proste $BC,$ oznaczmy odpowiednio przez $,E,F. |D$ Wówczas punkty $,E,F D$ leżą na jednej prostej. Prosta ta nazywana jest prostą Simsona punktu $P$ względem trójkąta $ABC$ .

Dowód. Zauważmy, że trójkąty prostokątne $PAF |$ i $P | CD$ są podobne. Rzeczywiście, wynika to z równości $?PAF$ która jest konsekwencją tego, że punkty $|A,$ leżą na jednym okręgu. Jest też jasne, że trójkąty te są tak samo zorientowane. Obierzmy na prostej $AC$ taki punkt $, X |$ że trójkąt $E PX$ jest podobny do trójkąta $|PAF$ i tak samo zorientowany. Przekształcenie będące złożeniem obrotu o kąt $APF |$ z jednokładnością o skali $PF |PA$ przeprowadza punkty $,C A,$ odpowiednio na punkty $.F, | E,D$ Ponieważ obroty i jednokładności zachowują współliniowość punktów, więc ze współliniowości punktów $,C A,$ wynika współliniowość punktów $.F, | E,D$

Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: jeśli punkty $,E,F |D$ są współliniowe, to punkt $P$ leży na okręgu $|ω$ Dowód tego faktu jest dość podobny, nietrudno bowiem sprawdzić, że przy takich założeniach obrót o kąt $FPA$ z jednokładnością o skali $PA |-- PF$ przeprowadzi $D$ na $C,$ skąd wnioskujemy podobieństwo trójkątów $PAF$ i $P | CD$ oraz tezę twierdzenia odwrotnego.

Jedno z ciekawych uogólnień prostej Simsona polega na rzutowaniu punktu $|P$ pod dowolnym (ustalonym) kątem. Mówi o tym następujące twierdzenie:

Twierdzenie 2. Dany jest trójkąt $ABC$ wpisany w okrąg $ω$ i punkt $|P$ leżący na nim. Niech $,E,F |D$ będą takimi punktami odpowiednio na prostych $BC,$ że zachodzą równości kątów skierowanych $,BC)=?(PE,CA) ?(PD$ Wówczas punkty $,E,F D$ leżą na jednej prostej. Twierdzenie odwrotne również jest prawdziwe.

Powyższe twierdzenie można udowodnić, wykorzystując analogiczny argument jak w twierdzeniu Simsona. Uzupełnienie szczegółów pozostawiamy Czytelnikowi.

Inne uogólnienie twierdzenia Simsona można otrzymać, badając pola trójkątów o wierzchołkach będących rzutami dowolnego punktu płaszczyzny. Francuz Joseph Gergonne odkrył i jako pierwszy udowodnił poniższy fakt.

Twierdzenie 3. Dane są trójkąt $ABC$ wpisany w okrąg o środku $|O$ oraz liczba rzeczywista $. λ$ Dla dowolnego punktu $P$ oznaczmy jego rzuty na proste $BC,$ przez $,E,F. D$ Zbiór punktów $P,$ dla których zorientowane pole trójkąta $EF D$ wynosi $λ ,$ jest albo zbiorem pustym, albo jednoelementowym zbiorem zawierającym punkt $O,$ albo pewnym okręgiem o środku $O.$

Dowód powyższego twierdzenia pominiemy, natomiast wywnioskujemy z niego twierdzenie Simsona. Przyjmując $= λ 0,$ otrzymujemy, że wszystkie punkty, których rzuty na proste $|BC,$ są współliniowe, tworzą pewien okrąg. Nietrudno przekonać się, że rzuty punktów $A,$ mają tę własność. Wobec tego okręgiem tym musi być okrąg opisany na trójkącie $|ABC.$

Zanim przejdziemy do próby pokazania ciekawych zastosowań prostej Simsona, udowodnimy kilka interesujących faktów z nią związanych. Zaczniemy od niezwykle użytecznego faktu:

Fakt 1. Dany jest trójkąt $ABC |$ wpisany w okrąg $ω$ oraz cięciwa $P Q$ prostopadła do prostej $BC. |$ Wówczas prosta Simsona punktu $|P$ względem trójkąta $ABC$ jest równoległa do prostej $AQ. |$

Może się, oczywiście, zdarzyć, że nie istnieje cięciwa przechodząca przez $|P,$ która jest prostopadła do $BC.$ Dzieje się tak dokładnie wtedy, gdy $P |$ jest jednym z końców średnicy równoległej do $BC. |$ W takim przypadku należy przyjąć $P = Q$ i fakt pozostaje w mocy. Uzupełnienie szczegółów pozostawiamy Czytelnikowi.

Na szczególną uwagę zasługuje piękna zależność znaleziona przez szwajcarskiego matematyka Jakoba Steinera, która wiąże prostą Simsona z ortocentrum trójkąta.

Twierdzenie 4 (Steiner). Punkt $P |$ leży na okręgu $|ω$ opisanym na trójkącie $ABC.$ Punkty $,Y X |$ i $Z$ są obrazami punktu $P$ w symetrii względem boków odpowiednio $BC,$ i $AB.$ Wówczas punkty $,YX$ i $Z$ leżą na jednej prostej, która zawiera ortocentrum trójkąta $|ABC.$ Prostą tę zwykło się nazywać prostą Steinera punktu $P |$ względem trójkąta $ABC.$

$pict$

zatem $D$ leży na $ω$ Trapez $XP HD$ jest równoramienny (jego osią symetrii jest prosta $BC$ ), wobec tego $H=?DPX. ?P | X$ Z drugiej strony trapez $QP |AD$ jest wpisany w okrąg, więc również jest równoramienny. Stąd $PQ=?PQ?AD.$ Z powyższych dwóch równości wynika, że $AQH.X$ Stąd i z poprzedniego faktu wnioskujemy, że prosta $HX |$ jest równoległa do prostej Simsona punktu $P .$ Innymi słowy, punkt $X$ leży na prostej $ℓ$ przechodzącej przez $|H$ i równoległej do prostej Simsona punktu $|P.$ Dokładnie ten sam argument pokazuje, że punkty $Y ,Z$ również leżą na $ℓ.$

Podobnie jak poprzednio, może się zdarzyć, że punkt $Q$ nie będzie istniał. Twierdzenie Steinera pozostaje prawdziwe również w tym przypadku. Uzupełnienie szczegółów ponownie pozostawiamy Czytelnikowi.

Twierdzenie Steinera można przeformułować tak: jednokładność o środku w punkcie $P$ i skali równej 2 przeprowadza prostą Simsona punktu $|P$ na prostą zawierającą ortocentrum trójkąta $| ABC.$ Wypływa stąd wniosek: prosta Simsona punktu $P$ leżącego na okręgu opisanym na trójkącie $ABC$ połowi odcinek $PH,$ gdzie $H |$ jest ortocentrum trójkąta $ABC. |$ Ponadto środek odcinka $PH$ leży na okręgu dziewięciu punktów trójkąta $| ABC.$ Aby to uzasadnić, wystarczy zauważyć, że skoro odbicia $|H$ względem boków trójkąta $ABC |$ leżą na okręgu opisanym, to okrąg dziewięciu punktów jest jednokładny względem $H |$ w skali $12 |-$ z okręgiem opisanym.

Można również badać relację między dwiema wybranymi prostymi Simsona.

Dowód. Obierzmy punkty $R |$ i $S$ na $ω$ tak, by cięciwy $PR, QS$ były prostopadłe do prostej $BC.$ Wówczas proste $|AR,$ są równoległe do prostych Simsona punktów $|P,Q.$ Wobec tego interesujący nas kąt równy jest kątowi między prostymi $AR,$ Ten kąt jest oparty na łuku $|RS,$ którego długość jest równa długości łuku $|PQ.$

Tutaj również może zdarzyć się, że nie istnieją cięciwy $PR, | QS$ prostopadłe do prostej $BC$ - uzupełnienie dowodu w tym przypadku pozostawiamy Czytelnikowi.

Z powyższych faktów w prosty sposób można wysnuć następujące wnioski:

Trójkąt $| YZ X$ jest wpisany w okrąg opisany na trójkącie $ABC.$ Wówczas proste Simsona punktów $,Y X$ i $Z$ względem trójkąta $|ABC$ ograniczają trójkąt podobny do trójkąta $ABC.$
Proste Simsona dwóch punktów antypodycznych przecinają się pod kątem prostym.
W trójkącie $| ABC$ zbiór punktów przecięcia się prostych Simsona dwóch punktów antypodycznych jest jego okręgiem dziewięciu punktów.

Nadszedł czas na pokazanie zastosowań prostej Simsona w zadaniach olimpijskich. Część poniższych problemów pochodzi z olimpiad matematycznych o zasięgu międzynarodowym.

Rozważane zadania szybko uległy twierdzeniu Steinera. Tak dzieje się z wieloma problemami dotyczącymi przynależności ortocentrum trójkąta do jakiejś prostej. Dla Czytelników Wnikliwych pozostawiamy kilka zadań, które pomogą zgłębić i odkryć jeszcze więcej własności prostej Simsona.