Przeskocz do treści

Delta mi!

Temat » Matematyka » Geometria » Planimetria

Deltoid

O obrotach

Joanna Jaszuńska

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: grudzień 2015
  • Publikacja elektroniczna: 30-11-2015
  • Wersja do druku [application/pdf]: (127 KB)

Tym razem o obrotach na płaszczyźnie...

obrazek

Rys. 1 |R A Sl XSk, gdzie X oznacza złożenie (najpierw stosujemy przekształcenie z prawej strony), a |Sx to symetria względem prostej x.
Składanie przekształceń jest łączne: | f Xg X h f X g Xh .

Rys. 1 |R S XS , A l k gdzie X oznacza złożenie (najpierw stosujemy przekształcenie z prawej strony), a |S x to symetria względem prostej x.
Składanie przekształceń jest łączne: | f Xg X h f X g Xh .

Na płaszczyźnie obrót wokół punktu |A o kąt 0○ ⩽α < 360 ○ (ozn. RαA ) jest złożeniem dwóch symetrii osiowych (Rys. 1). Utożsamiamy obroty o | ○ α +360 i o | α.

Fakt (*). Dane są kąty |0○⩽ α,β < 360○. Złożenie |RβB ○RAα jest:
a) przesunięciem (być może o wektor zerowy), jeśli α + β = 0○ lub |α+ β = 360○,
b) obrotem o kąt |α+ β w przeciwnym przypadku.

Dowód. W każdym przypadku wybieramy osie symetrii |k,l,m jak przedstawiono na rysunku 2 i uzyskujemy |Rβ ○R α= S S○ ○S ○ S = S ○S , B A m l l k m k co w zależności od wzajemnego położenia prostych |k i m daje odpowiednie przekształcenia.

obrazek

Rys. 2 Jeśli |k m, to Sm | X Sk jest przesunięciem, a jeśli |k m - identycznością (ozn. Id ).

Rys. 2 Jeśli |k m, to Sm | X Sk jest przesunięciem, a jeśli |k m - identycznością (ozn. Id ).

Kąty mierzymy antyzegarowo. We wszystkich rozwiązaniach przyjmujemy taką orientację figur, jaką przedstawiono na rysunkach.

Więcej o składaniu symetrii osiowych przeczytać można w Delcie 11/2015

Fakt (**). Kąty |0○< α,β ,γ< 360○ dają w sumie |360○. Jeśli różne punkty ,AB, C spełniają warunek γ β α |RC ○R B○ RA = Id, to tworzą trójkąt o kątach odpowiednio α /2,β /2,γ/2.

Dowód. Dowód można odczytać z rysunku 2(b).