Deltoid

Połowa równoległoboku

Delta, czerwiec 2014

o artykule ...

Publikacja w Delcie: czerwiec 2014
Publikacja elektroniczna: 02-06-2014
Wersja do druku [application/pdf]: (70 KB)

W rozwiązaniach zadań będzie pomocna następująca obserwacja.

Twierdzenie (*). Jeśli punkt $\text{[math]}$ należy do boku $\text{[math]}$ równoległoboku $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$

Dowód. Prosta przez punkt $\text{[math]}$ równoległa do odcinka $\text{[math]}$ dzieli $\text{[math]}$ na dwa równoległoboki. Trójkąt $\text{[math]}$ utworzony jest z ich połówek.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Połowa równoległoboku»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Połowa równoległoboku
Publikacja w Delcie: czerwiec 2014
Publikacja elektroniczna: 02-06-2014
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (70 KB)

Prostokątne kartki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ niekoniecznie o tych samych wymiarach, położono jak na rysunku. Czy kartka $\text{[math]}$ przykrywa ponad połowę kartki $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Wystarczy połączyć punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Kartka $\text{[math]}$ przykrywa cały trójkąt $\text{[math]}$ i jeszcze kawałek kartki $\text{[math]}$ – łącznie ponad połowę.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Połowa równoległoboku»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Połowa równoległoboku
Publikacja w Delcie: czerwiec 2014
Publikacja elektroniczna: 02-06-2014
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (70 KB)

Kolorowe = szare

Punkty $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ należą odpowiednio do boków $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ równoległoboku $\text{[math]}$ przy czym $\text{[math]}$ Odcinek $\text{[math]}$ przecina odcinki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ odpowiednio w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Wykaż, że $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Odcinek $\text{[math]}$ dzieli równoległobok $\text{[math]}$ na dwie figury przystające. Wobec tego i na mocy twierdzenia (*), mamy

display-math

co po odjęciu od obu stron $\text{[math]}$ daje tezę.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Połowa równoległoboku»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Połowa równoległoboku
Publikacja w Delcie: czerwiec 2014
Publikacja elektroniczna: 02-06-2014
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (70 KB)

Kolorowe = szare

Punkt $\text{[math]}$ należy do boku $\text{[math]}$ równoległoboku $\text{[math]}$ punkt $\text{[math]}$ – do boku $\text{[math]}$ Odcinek $\text{[math]}$ przecina odcinki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ odpowiednio w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Odcinki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Wykaż, że

display-math

Rozwiązanie

Korzystając dwukrotnie z twierdzenia (*), otrzymujemy

$pict$

co po odjęciu od obu stron $\text{[math]}$ daje tezę.

Twierdzenie (**). Jeśli punkt $\text{[math]}$ leży wewnątrz równoległoboku $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$

Dowód. Dzielimy $\text{[math]}$ na dwa równoległoboki prostą przechodzącą przez punkt $\text{[math]}$ równoległą do boku $\text{[math]}$ i dla każdego z nich korzystamy z obserwacji z zadania 1.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Zadanie ZM-14.06-Deltoid-4

o zadaniu...

Publikacja w Delcie: czerwiec 2014
Publikacja elektroniczna: 02-06-2014
Rysunek z książki When Less is More, C. Alsina i R. Nelsen, MAA 2009.

Wykaż, że pole dowolnego czworokąta wypukłego równe jest połowie pola równoległoboku wyznaczonego przez jego przekątne.

Rozwiązanie

Kolorowe = szare

Rozwiązanie, a przy okazji inny dowód twierdzenia (**), na rysunku.

Zadania domowe

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Zadanie ZM-14.06-Deltoid-5

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: IV~Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Publikacja w Delcie: czerwiec 2014
Publikacja elektroniczna: 02-06-2014

Dany jest równoległobok $\text{[math]}$ oraz punkt $\text{[math]}$ należący do boku $\text{[math]}$ Przez punkt $\text{[math]}$ prowadzimy prostą $\text{[math]}$ równoległą do prostej $\text{[math]}$ Na prostej $\text{[math]}$ obieramy takie punkty $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ że czworokąt $\text{[math]}$ jest równoległobokiem. Udowodnij, że równoległoboki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ mają równe pola.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Zadanie ZM-14.06-Deltoid-6

o zadaniu...

Publikacja w Delcie: czerwiec 2014
Publikacja elektroniczna: 02-06-2014

Wykaż, że $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Zadanie ZM-14.06-Deltoid-7

o zadaniu...

Publikacja w Delcie: czerwiec 2014
Publikacja elektroniczna: 02-06-2014

Punkt $\text{[math]}$ należy do boku $\text{[math]}$ równoległoboku $\text{[math]}$ punkt $\text{[math]}$ – do boku $\text{[math]}$ Odcinki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ odcinki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Wykaż, że

a): $\text{[math]}$
b): $\text{[math]}$

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności