Deltoid

Trygonometria obrazkowa

Czasem jeden rysunek pozwala dowieść tak wiele...

Rozważmy trójkąt $\text{[math]}$ o kątach $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Na jego przeciwprostokątnej $\text{[math]}$ zbudujmy, na zewnątrz, trójkąt $\text{[math]}$ o kątach $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ przy czym $\text{[math]}$ Całość „domknijmy” do prostokąta $\text{[math]}$ jak na rysunku 1. Wówczas $\text{[math]}$ (bo $\text{[math]}$ ) oraz $\text{[math]}$ (bo $\text{[math]}$ ).

Wzory na $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$

Niech $\text{[math]}$ Wyznaczmy kolejno długości przyprostokątnych w trójkątach $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ :

W trójkącie $\text{[math]}$ przeciwprostokątna $\text{[math]}$ więc

$pict$

czyli

$pict$

Podobnie, oznaczając $\text{[math]}$ można wyprowadzić wzory na $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$

Wzór na $\text{[math]}$

Przyjmijmy, iż $\text{[math]}$ (Rys. 2) i kolejno wyznaczmy długości boków trójkątów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ W trójkącie $\text{[math]}$ mamy $\text{[math]}$ stąd

display-math

Podobnie, przyjmując $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ można wyprowadzić wzór na $\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$

Oznaczając dodatkowo $\text{[math]}$ otrzymujemy $\text{[math]}$ Ponieważ $\text{[math]}$ płynie stąd wniosek, iż

display-math

A oto kilka mniej znanych równości, które też wszystkie wynikają z jednego obrazka — tym razem zbudowanego z trzech kwadratów. Dla $\text{[math]}$ kąt $\text{[math]}$ to taki kąt ostry, którego tangens równy jest $\text{[math]}$ , np. $\text{[math]}$ Odnalezienie na rysunkach odpowiednich trójkątów prostokątnych pozostawiamy Czytelnikom.

Wzory na oraz

Wzór na

Wzory na $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$

Wzór na $\text{[math]}$