Deltoid

Oszustwa

Udowodnimy kilka ewidentnych bzdur, na przykład istnienie okręgu o dwóch środkach czy równość $\text{[math]}$ Zachęcam Czytelników do samodzielnego odszukania błędów w tych dowodach przed lekturą zamieszczonych na końcu wyjaśnień.

Zadanie 1. Istnieje okrąg o dwóch środkach.

Dowód. Rozważmy dwie nierównoległe proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ oraz punkt $\text{[math]}$ poza nimi (Rys. 1). Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ to rzuty punktu $\text{[math]}$ odpowiednio na proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Proste te nie są równoległe, stąd odcinki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ też nie są, więc powstaje trójkąt $\text{[math]}$

Okrąg opisany na trójkącie $\text{[math]}$ przecina proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ odpowiednio w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Wtedy $\text{[math]}$ więc odcinek $\text{[math]}$ jest średnicą tego okręgu, a środek $\text{[math]}$ – środkiem okręgu. Analogicznie $\text{[math]}$ więc odcinek $\text{[math]}$ też jest średnicą okręgu, a środek $\text{[math]}$ – drugim środkiem okręgu.

Zadanie 2. Istnieje trójkąt o dwóch kątach prostych.

Dowód. Rozważmy przecinające się okręgi $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ (Rys. 2). Niech $\text{[math]}$ będzie jednym z ich wspólnych punktów oraz niech $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ będą średnicami odpowiednio $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Prosta $\text{[math]}$ przecina okręgi $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ odpowiednio w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$

W trójkącie $\text{[math]}$ kąt $\text{[math]}$ jest prosty jako wpisany w okrąg $\text{[math]}$ oparty na średnicy $\text{[math]}$ Analogicznie kąt $\text{[math]}$ jest drugim kątem prostym w tym trójkącie.

Zadanie 3. Każdy trójkąt jest równoboczny.

Dowód. Przypuśćmy, że $\text{[math]}$ w pewnym trójkącie $\text{[math]}$ (Rys. 3). Dwusieczna kąta $\text{[math]}$ nie jest wtedy wysokością tego trójkąta, więc przecina symetralną boku $\text{[math]}$ w pewnym punkcie $\text{[math]}$ Punkty $\text{[math]}$ to rzuty punktu $\text{[math]}$ odpowiednio na proste $\text{[math]}$

Wówczas $\text{[math]}$ (bo mają równe kąty i wspólny bok $\text{[math]}$ ), stąd $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Ponadto $\text{[math]}$ leży na symetralnej odcinka $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$

Z ostatnich dwóch równości wynika, że trójkąty prostokątne $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ też są przystające, więc $\text{[math]}$ Zatem $\text{[math]}$ sprzecznie z założeniem.

Zadanie 4. $\text{[math]}$

Dowód. Rozważmy prostokąt $\text{[math]}$ (Rys. 4). Punkt $\text{[math]}$ na zewnątrz tego prostokąta, spełnia warunki $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Symetralne odcinków $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Wówczas $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Ponadto z założenia $\text{[math]}$ Wobec powyższego trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są przystające, a stąd $\text{[math]}$

Trójkąt $\text{[math]}$ jest równoramienny $\text{[math]}$ zatem $\text{[math]}$

Podsumowując, mamy

$pict$

Rozwiązania

Rozwiązanie zadania 1
Rozważany okrąg przechodzi przez punkt przecięcia prostych $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Pokrywają się punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ więc również średnice $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ a także ich środki.

Rozwiązanie zadania 2
Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ pokrywają się (i znajdują się w punkcie przecięcia okręgów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ różnym od $\text{[math]}$ ). Trójkąt $\text{[math]}$ jest więc zdegenerowany do odcinka.

Rozwiązanie zadania 3
Punkt $\text{[math]}$ jest środkiem tego łuku $\text{[math]}$ okręgu opisanego na trójkącie $\text{[math]}$ do którego nie należy punkt $\text{[math]}$ bo środek ten leży i na dwusiecznej kąta $\text{[math]}$ i na symetralnej boku $\text{[math]}$ Czworokąt $\text{[math]}$ jest więc wpisany w okrąg, stąd $\text{[math]}$ Jeśli oba te kąty są proste, to $\text{[math]}$ czyli $\text{[math]}$ Zatem jeden z kątów $\text{[math]}$ jest ostry, a drugi rozwarty. Przyjmijmy, że kąt $\text{[math]}$ jest ostry. Wówczas punkt $\text{[math]}$ należy do boku $\text{[math]}$ a punkt $\text{[math]}$ leży poza odcinkiem $\text{[math]}$ Stąd $\text{[math]}$ ale $\text{[math]}$

Rozwiązanie zadania 4
Symetralna boku $\text{[math]}$ jest jednocześnie symetralną boku $\text{[math]}$ Punkt $\text{[math]}$ jako punkt przecięcia symetralnych odcinków $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $\text{[math]}$ więc leży także na symetralnej odcinka $\text{[math]}$ Leży na niej również punkt $\text{[math]}$ Oznacza to, że trójkąt $\text{[math]}$ nie wygląda tak, jak na rysunku 4 – punkt $\text{[math]}$ leży po przeciwnej stronie prostej $\text{[math]}$ Wobec tego kąt $\text{[math]}$ w tym trójkącie nie jest sumą kątów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ tylko jej dopełnieniem do $\text{[math]}$