Homo oeconomicus za główną z nich uważa taniość. Faktycznie, obiekty badań matematyków nie są z tego świata, nie można zatem kupić ich ani w specjalistycznej hurtowni, ani w supermarkecie, ani nawet w osiedlowym sklepiku.

Homo oecologicus jako główną zaletę wymieni fakt, iż matematyczne obiekty nie podlegają cywilizacyjnym zanieczyszczeniom i wynikającym z nich deformacjom.

Homo logisticus wskaże obywanie się bez laboratoriów, a nawet właściwie bez odpowiednich pomieszczeń. Matematykę istotnie można uprawiać wszędzie.

Homo libertinus wskaże niezależność matematyki od ideologii i polityki.

Są wreszcie i tacy, którzy są przekonani, iż myśl matematyczna buja w nieosiągalnych dla niematematyków przestworzach i tym sposobem jest bardziej niezależna niż jakakolwiek inna myśl.

Wszystko to pewnie prawda, ale moje obserwacje kolegów matematyków kazałyby mi wymienić dwie inne, wyróżniające ten zawód zalety. Pierwsza z nich to nieprawdopodobna wręcz obfitość problematyki – nie sposób wymienić sytuację, która nie mogłaby stać się inspiracją do podjęcia matematycznego dociekania. Druga zaś to fakt, że matematyk pracując, bawi się, że praktycznie każda forma zabawy może posłużyć jako alegoria matematycznych dociekań.

Ostatnio miałem okazję zaobserwować to w niemal czystej formie. Jeden z moich kolegów – nazwijmy go Jurkiem – szperał po artykułach w różnych czasopismach, poszukując przykładu zależności, która miała upoglądowić prezentację jego aktualnych prac. I tak trafił na artykuł Junpei Sekino n-Ellipses and the minimum distance sum problem w American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 3 (1999), 193-202.

Niezależnie od powodu napisania wymienionego artykułu, możemy w nim znaleźć definicję -elipsy jako zbioru punktów, których suma odległości od danych  punktów jest stała. Gdy jako punkty weźmiemy wierzchołki -kąta foremnego, a sumie odległości każemy być równą odległości jednego z nich od pozostałych, to powstanie właśnie figura, której własności były potrzebne Jurkowi. W szczególności chciał wiedzieć, czy krzywa ta jest gładka, czy też może ma dziobki. Oczywiście, dziobki mogłyby się pojawić tylko w wierzchołkach -kąta. Ale jak stwierdzić, czy są?

Kiedy zapoznał mnie ze swoim problemem, postanowiłem to sprawdzić w najprostszej sytuacji, czyli dla trójkąta. A że nie miałem sensownego pomysłu, więc zacząłem liczyć, co okazało się do tego stopnia męczące, że tę drogę poszukiwania odpowiedzi uznałem za głupią. Powiedziałem też o tym przy jakiejś okazji koledze – nazwijmy go Zbyszkiem. Ten uznał, że moje trudności to jeszcze jeden przykład na to, jak jestem zacofany, i wpuścił rzecz do Mathematiki, która stwierdziła, że krzywa jest gładka. Ale to mu nie odpowiadało, więc poszukał błędu w swoim wpuszczaniu, znalazł go, poprawił i wtedy Mathematica powiedziała (i pokazała – patrz rysunek), że dziobki są.

Poziomice funkcji

No i wtedy zawstydził się, że zabrał się do geometrii z komputerem – to tak, jakby z nożem do ryby. Więc rozwiązał problem dla trójkąta metodami klasycznej geometrii, ale tak go to rozochociło, że odkrył, o co tak naprawdę w tym problemie chodzi, i rozwiązał go klasycznie dla dowolnego  co jest przedstawione na następnych stronach.

W moim przekonaniu dowodzi to niezbicie tego, od czego zacząłem ten tekst.

Marek

Rozwiązanie rozpoczniemy od dowodu następującej obserwacji.

Zauważmy, że prosta  jest też dwusieczną każdego z kątów  dla  gdyż każdy z tych kątów powstaje z kąta  przez odjęcie po obu stronach dwusiecznej tej samej wielokrotności kąta o mierze

Rozważmy jeden z tych kątów oraz pewien punkt  który należy do kąta  ale leży poza trójkątem (Rys. 5).

Wykażemy, że  W tym celu odbijemy punkt  symetrycznie względem prostej (Rys. 6).

Z tego, że  jest dwusieczną kąta  oraz  wynika, że punkty  są współliniowe. Mamy zatem dla

Gdy  jest liczbą parzystą, każdy z wierzchołków  występuje w dokładnie jednej z powyższych nierówności  Mamy zatem

Gdy  jest liczbą nieparzystą, w nierównościach  występują wszystkie wierzchołki  z wyjątkiem  który wtedy leży na prostej (Rys. 7).

Jeśli  jest punktem przecięcia odcinków  oraz  to mamy

gdyż trójkąt  jest prostokątny. Wynika stąd

W każdym więc przypadku punkt  nie należy do krzywej  co kończy dowód stwierdzenia.

Łatwo teraz wykazać, że krzywa  nie jest gładka w punktach  to znaczy nie ma w tych punktach stycznej. Ze względu na niezmienniczość  na obroty wielokąta wystarczy przeprowadzić dowód dla jednego z wierzchołków, np. dla (Rys. 8).

Oczywiście,  Zauważmy, że punkty krzywej  leżące w pobliżu punktu  są zawarte w kącie  Gdyby prosta  była styczna do krzywej  w punkcie  to z niezmienniczości  ze względu na symetrię w prostej  wynikałoby, że  Ale wtedy, z definicji stycznej jako granicy siecznych wynika, że istnieje taki ciąg punktów  że kąty, jakie tworzą wektory  z prostą  dążą do zera, czyli  Tymczasem mamy zawsze

sprzeczność, która kończy rozwiązanie zadania.

Udział wzięli Marek KORDOS, Zbigniew MARCINIAK, Jerzy TYSZKIEWICZ