Symetralna i dwusieczna - bliźnięta jedno- czy dwujajowe?

Symetralna to oś symetrii odcinka, a dwusieczna – kąta. W trójkącie tak symetralne, jak dwusieczne, przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiążmy zadanie:

Zadanie 1. Dane są trzy proste przecinające się w jednym punkcie (Rys. 1). Znaleźć trójkąt, dla którego są one

$\text{[math]}$: symetralnymi boków;
$\text{[math]}$: dwusiecznymi kątów.

Jeśli jakiś trójkąt rozwiązuje nasze zadanie, to każdy jednokładny do niego względem punktu wspólnego danych prostych też je rozwiązuje. Możemy więc jeden element trójkąta (w $\text{[math]}$ prostą zawierającą bok, w $\text{[math]}$ wierzchołek kąta) przyjąć dość dowolnie. Zatem do roboty!

Obieramy

$\text{[math]}$: prostą $\text{[math]}$ prostopadłą do $\text{[math]}$ – będzie ona zawierała wierzchołki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ szukanego trójkąta $\text{[math]}$ ;
$\text{[math]}$: punkt $\text{[math]}$ na prostej $\text{[math]}$ – będzie on wierzchołkiem kąta $\text{[math]}$ (Rys. 2).

Odbijamy symetrycznie względem $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$

$\text{[math]}$: prostą $\text{[math]}$ na każdej z otrzymanych prostych musi leżeć punkt $\text{[math]}$ bo jest on obrazem $\text{[math]}$ względem jednej z symetralnych (powiedzmy $\text{[math]}$ ) i obrazem $\text{[math]}$ – względem drugiej;
$\text{[math]}$: punkt $\text{[math]}$ prosta $\text{[math]}$ łącząca otrzymane punkty musi zawierać wierzchołki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ bo obrazy tych prostych względem dwusiecznych $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przechodzą przez punkt $\text{[math]}$ (Rys. 3).

Odbijamy symetrycznie względem $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$

$\text{[math]}$: punkt $\text{[math]}$ – jego obrazami są punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ (oczywiście, leżące na prostej $\text{[math]}$ ), co kończy konstrukcję;
$\text{[math]}$: prostą $\text{[math]}$ – jej obrazy (oczywiście, przechodzące przez $\text{[math]}$ ) wraz z $\text{[math]}$ tworzą poszukiwany trójkąt (Rys. 4).

Ostatni krok w konstrukcji $\text{[math]}$ można uprościć, znajdując „na skróty” i niedualnie punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ – to przecięcia $\text{[math]}$ z $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$

Można więc odnieść wrażenie, że odpowiedź na tytułowe pytanie brzmi: jednojajowe.

Okazuje się jednak, że wrażenie takie jest mylne, co widać wyraźnie, gdy weźmiemy inne proste $\text{[math]}$

Dla pokazanych obok prostych w wyniku zaproponowanej konstrukcji otrzymujemy, co prawda, jakieś trójkąty (Rys. 5), ale tylko ten, w którym proste mają być symetralnymi, spełnia nasze żądanie, ten drugi jest chyba bez sensu, bo przecięcie dwusiecznych to środek okręgu wpisanego w trójkąt, a ten nie może leżeć na zewnątrz trójkąta.