Mnóstwo rachunków?

Delta, kwiecień 2013

o artykule ...

Publikacja w Delcie: kwiecień 2013
Publikacja elektroniczna: 30-03-2013
Wersja do druku [application/pdf]: (95 KB)

Geometria analityczna kojarzona bywa z dużą ilością rachunków, takie rozwiązania często są długie i pracochłonne. Oto kilka przykładów, że nie zawsze jest tak źle.

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Mnóstwo rachunków?
Publikacja w Delcie: kwiecień 2013
Publikacja elektroniczna: 30-03-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (95 KB)

Dany jest trójkąt równoboczny $\text{[math]}$ oraz dowolny punkt $\text{[math]}$ na jego okręgu wpisanym. Wykaż, że suma $\text{[math]}$ nie zależy od wyboru punktu $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Wprowadźmy układ współrzędnych w $\text{[math]}$ tak, aby $\text{[math]}$ Wtedy równanie płaszczyzny $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$

Rozważmy sferę daną równaniem $\text{[math]}$ dla takiego $\text{[math]}$ aby okrąg wpisany w trójkąt $\text{[math]}$ był przekrojem tej sfery płaszczyzną $\text{[math]}$

Niech

\text{[math]}

Wówczas

$pict$

czyli faktycznie nie zależy od wyboru punktu $\text{[math]}$ z okręgu.

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste , Równania
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Mnóstwo rachunków?
Publikacja w Delcie: kwiecień 2013
Publikacja elektroniczna: 30-03-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (95 KB)

Rozstrzygnij, ile rozwiązań ma układ równań

display-math

Rozwiązanie

Równania opisują płaszczyznę przechodzącą przez punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ oraz sferę o środku w punkcie $\text{[math]}$ i promieniu 1. Sfera ta przechodzi przez te same trzy punkty, więc przecina się z daną płaszczyzną wzdłuż okręgu przez nie wyznaczonego. Stąd układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste , Równania
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

Mnóstwo rachunków?»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Mnóstwo rachunków?
Publikacja w Delcie: kwiecień 2013
Publikacja elektroniczna: 30-03-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (95 KB)

Rozstrzygnij, ile rozwiązań ma układ równań

display-math

Rozwiązanie

Równania opisują okrąg o środku $\text{[math]}$ i promieniu $\text{[math]}$ oraz okrąg o środku $\text{[math]}$ i promieniu $\text{[math]}$ Odległość między środkami tych okręgów równa jest

display-math

czyli równa sumie ich promieni. Okręgi są więc styczne i układ równań ma jedno rozwiązanie.

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Mnóstwo rachunków?»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Mnóstwo rachunków?
Publikacja w Delcie: kwiecień 2013
Publikacja elektroniczna: 30-03-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (95 KB)

W czworokącie wypukłym $\text{[math]}$ punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są odpowiednio środkami boków $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ zaś przekątne przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Wykaż, że prosta zawierająca dwusieczną kąta $\text{[math]}$ jest prostopadła do prostej $\text{[math]}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Wprowadźmy układ współrzędnych tak, aby $\text{[math]}$ oraz by dwusieczna kąta $\text{[math]}$ była zawarta w dodatniej półosi $\text{[math]}$

Czworokąt jest wypukły, więc pierwszymi współrzędnymi punktów $\text{[math]}$ są odpowiednio $\text{[math]}$ dla pewnych $\text{[math]}$

Prosta $\text{[math]}$ jest prostopadła do osi $\text{[math]}$ wtedy i tylko wtedy, gdy pierwsze współrzędne punktów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są równe, czyli gdy $\text{[math]}$ .

Odcinki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ tworzą z poziomą osią ten sam kąt $\text{[math]}$ , więc warunek $\text{[math]}$ równoważny jest warunkowi, że rzuty tych odcinków na oś $\text{[math]}$ są równe. Każdy z rzutów zawiera punkt $\text{[math]}$ zatem są one równe wtedy i tylko wtedy, gdy $\text{[math]}$ .

Warunki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są równoważne, co kończy dowód.

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Mnóstwo rachunków?»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Mnóstwo rachunków?
Publikacja w Delcie: kwiecień 2013
Publikacja elektroniczna: 30-03-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (95 KB)

W czworościanie rozważamy dwusieczne trzech kątów płaskich mających wspólny wierzchołek. Wykaż, że jeżeli pewne dwie z tych dwusiecznych są prostopadłe, to wszystkie one są parami prostopadłe.

Rozwiązanie

Wprowadźmy układ współrzędnych tak, aby wyróżniony wierzchołek $\text{[math]}$ czworościanu był w punkcie $\text{[math]}$ a prostopadłe dwusieczne kątów płaskich $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ były zawarte odpowiednio w dodatnich półosiach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$

Rozważmy dowolny punkt $\text{[math]}$ z półprostej $\text{[math]}$ Jego obrazem w symetrii względem osi $\text{[math]}$ jest punkt $\text{[math]}$ na półprostej $\text{[math]}$

Z kolei obrazem punktu $\text{[math]}$ w symetrii względem osi $\text{[math]}$ jest punkt $\text{[math]}$ na półprostej $\text{[math]}$ Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są więc symetryczne względem osi $\text{[math]}$ Zatem, z dowolności wyboru $\text{[math]}$ całe półproste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są symetryczne względem $\text{[math]}$ Stąd dwusieczna kąta $\text{[math]}$ zawarta jest w osi $\text{[math]}$ co kończy dowód.