Deltoid

Okrąg Apoloniusza

Delta, styczeń 2013

o artykule ...

Publikacja w Delcie: styczeń 2013
Publikacja elektroniczna: 01-01-2013
Wersja do druku [application/pdf]: (83 KB)

Gdzie na płaszczyźnie znajdują się punkty, których stosunek odległości do dwóch ustalonych punktów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ równy jest danej dodatniej stałej $\text{[math]}$

Okazuje się, że punkty te tworzą okrąg, zwany okręgiem Apoloniusza (Rys. 1; dla $\text{[math]}$ okrąg zdegenerowany jest do prostej – symetralnej odcinka $\text{[math]}$ ).

Ponadto dla dowolnego punktu $\text{[math]}$ z okręgu Apoloniusza i spoza prostej $\text{[math]}$ spodki dwusiecznych kątów przy wierzchołku $\text{[math]}$ trójkąta $\text{[math]}$ leżą na tym okręgu.

Zachęcam do udowodnienia powyższych faktów i zastosowania ich w zadaniach.

Przyda się

Twierdzenie (o dwusiecznej). W trójkącie $\text{[math]}$ punkt $\text{[math]}$ na prostej $\text{[math]}$ jest spodkiem dwusiecznej kąta przy wierzchołku $\text{[math]}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Okręgi
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Okrąg Apoloniusza»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Okrąg Apoloniusza
Publikacja w Delcie: styczeń 2013
Publikacja elektroniczna: 01-01-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Punkty $\text{[math]}$ leżą, w tej właśnie kolejności, na prostej $\text{[math]}$ przy czym $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Rozstrzygnij, czy istnieje taki punkt $\text{[math]}$ spoza prostej $\text{[math]}$ aby $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Jeśli taki punkt $\text{[math]}$ istnieje, to $\text{[math]}$ jest dwusieczną kąta $\text{[math]}$ zatem z twierdzenia o dwusiecznej $\text{[math]}$ Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą więc na okręgu Apoloniusza dla punktów $\text{[math]}$ i stałej 1/2. Analogicznie punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą na okręgu Apoloniusza dla punktów $\text{[math]}$ i stałej 1/3.

Niech punkt $\text{[math]}$ na prostej $\text{[math]}$ różny od $\text{[math]}$ spełnia warunek $\text{[math]}$ Wtedy

display-math

oraz

display-math

zatem punkt $\text{[math]}$ należy do obydwu powyższych okręgów. Średnicą pierwszego z nich jest więc $\text{[math]}$ a drugiego – $\text{[math]}$ Stąd jedynym ich wspólnym punktem jest $\text{[math]}$ czyli $\text{[math]}$ Ale wtedy $\text{[math]}$ leży na prostej $\text{[math]}$ – sprzeczność.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Okrąg Apoloniusza»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Okrąg Apoloniusza
Publikacja w Delcie: styczeń 2013
Publikacja elektroniczna: 01-01-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Dane są dwa okręgi rozłączne zewnętrznie. Wyznacz zbiór punktów, z których okręgi te widać pod tym samym kątem.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Okrąg Apoloniusza»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Okrąg Apoloniusza
Publikacja w Delcie: styczeń 2013
Publikacja elektroniczna: 01-01-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

W przestrzeni dane są różne punkty $\text{[math]}$ przy czym $\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Udowodnij, że kąt $\text{[math]}$ jest prosty i że punkty $\text{[math]}$ leżą na jednej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Ponieważ $\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$ więc wszystkie punkty $\text{[math]}$ leżą na sferze Apoloniusza dla punktów $\text{[math]}$ i stałej 2 (zdefiniowanej analogicznie do okręgu). Jej średnicę wyznaczają punkty $\text{[math]}$ na prostej $\text{[math]}$ spełniające warunek $\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$ Wówczas $\text{[math]}$

Wobec tego $\text{[math]}$ także jest średnicą rozważanej sfery. Stąd kąt $\text{[math]}$ jest prosty, jako wpisany oparty na średnicy. Proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają się (w środku sfery), więc punkty $\text{[math]}$ leżą na jednej płaszczyźnie.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Okrąg Apoloniusza»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: XXXVI OM
Zadanie pochodzi z artykułu Okrąg Apoloniusza
Publikacja w Delcie: styczeń 2013
Publikacja elektroniczna: 01-01-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ nie należą do płaszczyzny $\text{[math]}$ Wyznacz zbiór wszystkich punktów $\text{[math]}$ o tej własności, że proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ tworzą z płaszczyzną $\text{[math]}$ równe kąty.

Rozwiązanie

Niech $\text{[math]}$ oznaczają odpowiednio rzuty punktów $\text{[math]}$ na płaszczyznę $\text{[math]}$ Dla punktu $\text{[math]}$ różnego od $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ równość $\text{[math]}$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąty prostokątne $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są podobne. Równoważnie, $\text{[math]}$ Jeśli $\text{[math]}$ to punkty $\text{[math]}$ o żądanej własności tworzą okrąg Apoloniusza dla punktów $\text{[math]}$ i stałej $\text{[math]}$ Jakie jest rozwiązanie, gdy $\text{[math]}$ Czy możliwe, by $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Okrąg Apoloniusza»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: XXIII OM
Zadanie pochodzi z artykułu Okrąg Apoloniusza
Publikacja w Delcie: styczeń 2013
Publikacja elektroniczna: 01-01-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

W czworokącie $\text{[math]}$ miara kąta wewnętrznego przy wierzchołku $\text{[math]}$ jest większa od $\text{[math]}$ oraz zachodzi równość $\text{[math]}$ Punkt $\text{[math]}$ jest symetryczny do punktu $\text{[math]}$ względem prostej $\text{[math]}$ Udowodnij, że $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Rys. 1

Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą na okręgu Apoloniusza dla punktów $\text{[math]}$ i stałej $\text{[math]}$ Z symetrii względem prostej $\text{[math]}$ punkt $\text{[math]}$ też na nim leży (Rys. 1).

Rys. 2

Łuki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są równe, więc $\text{[math]}$ jest dwusieczną kąta $\text{[math]}$ Jednocześnie $\text{[math]}$ jest też dwusieczną kąta $\text{[math]}$ (własność z początku artykułu, Rys. 2, stąd

display-math

Narzędzia
Obiekty: Okręgi , Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Okrąg Apoloniusza»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: LVII OM
Zadanie pochodzi z artykułu Okrąg Apoloniusza
Publikacja w Delcie: styczeń 2013
Publikacja elektroniczna: 01-01-2013
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Dany jest prostokąt $\text{[math]}$ w którym $\text{[math]}$ Na boku $\text{[math]}$ tego prostokąta skonstruuj takie punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ aby $\text{[math]}$

Wskazówka

Warto rozważyć okrąg Apoloniusza dla punktu $\text{[math]}$ środka boku $\text{[math]}$ i stałej 2.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności