Dowód. Dowód przeprowadzimy przy założeniu, że  leży po drugiej stronie prostej  niż okrąg  oraz że  leży po drugiej stronie prostej  niż okrąg  Czytelnik Wnikliwy bez trudu wykaże, że wynika z tego twierdzenie w całej ogólności. Nie będziemy również zajmować się przypadkiem, gdy okręgi  i   są współśrodkowe – wówczas twierdzenie jest oczywiste.

Przyjrzyjmy się punktom  Niech  i   będą odpowiednio punktami styczności okręgu  z prostymi  i   zaś  i   niech będą punktami przecięcia prostej  odpowiednio z odcinkami  i   (jak na rysunku 3).

Mamy wówczas

oraz  Stąd  (są to kąty zewnętrzne w trójkątach  i   ). W takim razie istnieje okrąg  styczny do prostych  i   odpowiednio w punktach  i   Stosunek pól trójkątów  i   jest równy stosunkowi wysokości opuszczonych na wspólną podstawę  a więc również stosunkowi odcinków  i   Z tego faktu i z otrzymanych równości kątów wynika, że

gdzie  oznacza pole figury  Stąd i z podobieństwa trójkątów  i   oraz  i   mamy

Z lematu na marginesie (którego dowód Czytelnik Pracowity może przeprowadzić z pomocą wskazówek) otrzymujemy wniosek, że środki okręgów  i   są współliniowe.

Niech  i   będą punktami styczności okręgu  odpowiednio z prostymi  i   zaś  i   – punktami przecięcia prostej  odpowiednio z odcinkami  i   Powtarzając wcześniejsze rozumowanie, stwierdzamy, że istnieje okrąg  styczny do  i   w punktach  i   a jego środek leży na prostej przechodzącej przez środki okręgów  i   Zauważmy, że  – punkty te leżą na odcinku  oraz

Wynika z tego, że okręgi  i   są styczne do prostej  w tym samym punkcie, a ich środki leżą na pewnej ustalonej prostej  (przechodzącej przez środki okręgów  i   ). Jeśli  mamy  Ten sam wniosek możemy otrzymać, jeśli  wówczas bowiem punkty  i   są symetryczne względem prostej  odpowiednio do punktów  i   więc okręgi  i   są symetryczne względem prostej  a ich środki leżą na tej prostej. Czytelnik Spostrzegawczy dostrzeże, że pokazaliśmy w ten sposób styczność prostej  do okręgu  dla dowolnego

Rys. 4

Przyjrzyjmy się ostatniemu rysunkowi, by dokończyć nasz dowód. Odcinki  i   są rozłączne i styczne do okręgu  stąd  przecina ten okrąg. Skoro  zachodzi również  Ponieważ punkty  oraz  leżą na okręgu  na zmianę (punkt  leży po przeciwnej stronie łuku  niż okrąg  ), to  i   leżą na tym samym łuku  a więc po tej samej stronie prostej  Proste  i   są styczne do okręgu  a zatem

Tak oto znaleźliśmy odpowiedź na pytanie o zbiór punktów, dla których wędrówka po okręgu  zakończy się po skończonej liczbie kroków – jest to zbiór pusty lub cały okrąg. Jak jednak rozpoznać, z którą z tych dwóch sytuacji mamy w danym przypadku do czynienia? Poszukiwanie odpowiedzi na to i wiele innych pytań pozostawiamy Czytelnikom.