Nierówność Ptolemeusza

W klasycznym najczęstszym sformułowaniu twierdzenie Ptolemeusza to:

Twierdzenie 1 (Ptolemeusza). Jeżeli na czworokącie można opisać okrąg, to iloczyn jego przekątnych równa się sumie iloczynów jego przeciwległych boków.

Autorstwo tego twierdzenia jest przypisywane greckiemu matematykowi Ptolemeuszowi pochodzącemu z Tebaidy, który kształcił się i działał w Aleksandrii na początku naszej ery (100-175).

Udowodnimy twierdzenie ogólniejsze zwane nierównością Ptolemeusza:

Twierdzenie 2. Niech $\text{[math]}$ będą kolejnymi bokami dowolnego czworokąta oraz niech $\text{[math]}$ będą jego przekątnymi. Wtedy

display-math

(*)

W warunku (*) zachodzi równość wtedy i tylko wtedy, gdy na czworokącie można opisać okrąg.

W dowodzie drugiej części powyższego twierdzenia będziemy korzystali z następującego prostego faktu, często znanego ze szkoły:

Twierdzenie 3. Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy jego przeciwległych kątów wynoszą po $\text{[math]}$

Jego dowód, jak wiadomo, opiera się na dobrze znanym twierdzeniu o kącie środkowym i kątach wpisanych opartych na tym samym łuku.

Dowód nierówności Ptolemeusza. Niech $\text{[math]}$ będzie dowolnym czworokątem. Mamy pokazać, że

display-math

Oznaczmy przez $\text{[math]}$ kąt $\text{[math]}$ a przez $\text{[math]}$ kąt $\text{[math]}$ Narysujmy półprostą wychodzącą z punktu $\text{[math]}$ leżącą na zewnątrz czworokąta $\text{[math]}$ i tworzącą z bokiem $\text{[math]}$ kąt $\text{[math]}$ Na tej półprostej wyznaczmy taki punkt $\text{[math]}$ aby kąt $\text{[math]}$ był równy $\text{[math]}$ Dzięki temu trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są podobne. Zachodzą zatem proporcje

display-math

(1)

skąd w szczególności wynika, że

display-math

(2)

Oznaczmy przez $\text{[math]}$ kąt $\text{[math]}$ Teraz $\text{[math]}$ Z trójkąta $\text{[math]}$ mamy $\text{[math]}$ czyli ostatecznie $\text{[math]}$ Analogicznie, $\text{[math]}$ a z trójkąta $\text{[math]}$ otrzymujemy $\text{[math]}$ czyli $\text{[math]}$ Zatem mamy $\text{[math]}$ Ponieważ zachodzi proporcja

display-math

wynikająca z (1), zatem trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ również są podobne (na rysunku zostały oznaczone kolorem, jedną parę odpowiednich boków oznaczyliśmy jedynką). Wynika stąd proporcja

display-math

z której otrzymujemy

display-math

(3)

Z nierówności trójkąta wynika, że

display-math

(4)

przy czym w warunku tym zachodzi równość wtedy i tylko wtedy, gdy punkty $\text{[math]}$ są współliniowe. Podstawiając do tej nierówności otrzymane wcześniej warunki (2) i (3), otrzymujemy nierówność

display-math

i mnożąc ją obustronnie przez $\text{[math]}$ otrzymujemy nierówność Ptolemeusza.

Równość w tym warunku jest równoważna faktowi, że w warunku (4) zachodzi też równość, a to ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy punkt $\text{[math]}$ leży na prostej $\text{[math]}$ co jest równoważne równości

display-math

Równość ta oznacza, że suma kątów wewnętrznych czworokąta, leżących przy wierzchołkach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ wynosi $\text{[math]}$ W konsekwencji, również suma kątów wewnętrznych czworokąta, leżących przy wierzchołkach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ wynosi $\text{[math]}$ Twierdzenie pomocnicze gwarantuje, że na czworokącie $\text{[math]}$ można opisać okrąg.

Przykłady prostych zastosowań

Przykład 1 (Obliczanie przekątnej pięciokąta foremnego). Rozważmy pięciokąt foremny o boku $\text{[math]}$ i nazwijmy jego przekątną $\text{[math]}$ Zbudujemy z jego pomocą czworokąt o trzech bokach będących bokami pięciokąta i jednym boku będącym przekątną pięciokąta (na rysunku obok rozważany czworokąt został oznaczony pogrubioną linią).

Zbudowany czworokąt ma dwie przekątne długości $\text{[math]}$ (są to również przekątne pięciokąta foremnego) oraz trzy boki równe $\text{[math]}$ i jeden bok długości $\text{[math]}$ (też przekątna pięciokąta foremnego). Ponieważ czworokąt jest wpisany w okrąg, zatem zgodnie z twierdzeniem Ptolemeusza zachodzi równość $\text{[math]}$ czyli $\text{[math]}$ jest tym rozwiązaniem równania kwadratowego, które wynosi (drugie rozwiązanie nie interesuje nas, bo jest ujemne)

display-math

Obliczenie przekątnej pięciokąta foremnego bez użycia twierdzenia Ptolemeusza jest bardziej skomplikowane i mozolne.

Przykład 2 (Obliczanie wartości funkcji $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ dla kąta $\text{[math]}$ ). Najpierw zauważmy, że w pięciokącie foremnym kąt pomiędzy jego przekątną a sąsiednim bokiem wynosi $\text{[math]}$ bo jest to połowa kąta środkowego, wynoszącego $\text{[math]}$ opartego na tym samym łuku. Po uwzględnieniu wzoru na przekątną pięciokąta foremnego otrzymujemy

$pict$