Twierdzenie (*). Punkty  są obrazami ortocentrum trójkąta  w symetriach względem prostych odpowiednio

Zadanie 1. Udowodnij twierdzenie  dla trójkąta  niekoniecznie ostrokątnego.

Zadanie 2. Dany jest okrąg  punkt  na nim i punkt  wewnątrz niego. Wpisz w okrąg  taki trójkąt o wierzchołku  żeby punkt  był jego ortocentrum.

Zadanie 3. Wykaż, że trójkąty  i   są podobne.

Zadanie 4. Wykaż, że  są dwusiecznymi kątów trójkąta

Zadanie 5. Udowodnij, że okręgi  są przystające (Rys. 2).

Zadanie 6. Wykaż, że trójkąt  przystaje do trójkąta  punkt  jest jego ortocentrum oraz punkt  jest środkiem opisanego na nim okręgu (Rys. 2).

Zadanie 7. Udowodnij, że  jest jedynym punktem wewnątrz trójkąta  którego obrazy w symetriach względem prostych  leżą na okręgu

Zadanie 8. Wykaż, że środki okręgów dopisanych do trójkąta i punkty symetryczne do środka okręgu wpisanego w ten trójkąt względem jego wierzchołków leżą na jednym okręgu.

Zadanie 9. Wykaż, że  oraz że

Zadanie 10. Udowodnij, że obrazy symetryczne ortocentrum względem środków boków trójkąta leżą na okręgu  Jak punkty te są położone względem  i 

Zadanie 11. Dany jest okrąg  i punkt  wewnątrz niego. Wyznacz zbiór środków boków takich trójkątów wpisanych w okrąg  że punkt  jest ich ortocentrum.

Zadanie 12. Oznaczmy przez  i   odpowiednio punkty przecięcia prostych  z   oraz  z   Wykaż, że istnieje okrąg styczny do prostych

Rozwiązanie (2). Punkt przecięcia prostej  z okręgiem to  Na mocy  symetralna odcinka  przecina okrąg  w szukanych punktach  i 

Rozwiązanie (4). Na mocy  mamy  więc  jako kąty wpisane oparte na równych łukach  i   Wobec tego  jest dwusieczną kąta  Dowód dla  i   przebiega analogicznie.

Rozwiązanie (5). Okręgi  i   są przystające, jako opisane na symetrycznych trójkątach  i   Analogicznie okręgi  i   przystają do

Rozwiązanie (7). Aby obraz punktu  w symetrii względem  leżał na okręgu  punkt  musi leżeć na obrazie okręgu  w tej symetrii, czyli na okręgu  Musi też leżeć na  i   a jedynym wspólnym punktem tych trzech okręgów jest

Rozwiązanie (8). Oznaczmy środki okręgów dopisanych przez  (Rys. 3). Wtedy  oraz  jako dwusieczne kątów przyległych. Stąd punkt  jest ortocentrum trójkąta  Punkty symetryczne do  względem wierzchołków wyjściowego trójkąta są odbiciami ortocentrum  trójkąta  w jego bokach, więc na mocy  leżą na okręgu opisanym na trójkącie

Wskazówka (9). Trójkąty podobne lub potęga punktów  i   względem okręgu

Wskazówka (11). Jest to obraz okręgu  w jednokładności o środku  i skali

Wskazówka (12). Środkiem szukanego okręgu jest punkt