W ten sposób rosła liczba zdań równoważnych V postulatowi, czy – jak kto woli – zdań, które są nieprawdziwe w geometrii nieeuklidesowej powstającej przez zaprzeczenie V postulatu. Niżej przedstawię trzy takie dowody, nie wskazując nieuprawnionych przesłanek. Zostaną one wskazane w następnym numerze Delty.

Najgłupiej postawiony problem matematyki

Oto pięć postulatów, z których Euklides w Elementach wyprowadził całą geometrię i arytmetykę.

I.

Od dowolnego punktu do dowolnego innego można poprowadzić prostą.

II.

Ograniczoną prostą można dowolnie przedłużyć.

III.

Z dowolnego środka dowolnym promieniem można opisać okrąg.

IV.

Wszystkie kąty proste są równe.

V.

Jeśli suma kątów wewnętrznych jednostronnych, utworzonych przez dwie proste przecięte trzecią, jest mniejsza od dwóch kątów prostych, to proste te po przedłużeniu przetną się i to z tej właśnie strony.

Jak łatwo zauważyć, liczba słów użytych do sformułowania początkowych czterech z nich (27) jest mniejsza od liczby słów potrzebnych do sformułowania piątego (30) – po grecku było podobnie, a przecież postulaty miały wyrażać treści proste i oczywiste.

Zauważył to jeden z epigonów matematyki greckiej, żyjący w czasach słusznie przez niego ocenianych jako lata wszelkiego upadku, Proklos (410–485). Oto jego wnioski i wynikający z nich program.

Choć informację o myślach i stanie zdrowia Euklidesa Proklos wyssał sobie z palca, a ocena treści postulatów poprzez zliczanie słów jest co najmniej cudaczna, to – w co trudno uwierzyć – matematycy uznali program Proklosa za wyzwanie i faktycznie chyba wszyscy próbowali go zrealizować. Spróbujmy i my.

Czym wolno się posługiwać, dowodząc V postulatu?

Dokładniej: jak rozumiano początkowe cztery postulaty (bo są one – jak na dzisiejsze wymagania – sformułowane dość enigmatycznie)? Otóż w tej kwestii panowała całkowita jednomyślność. Można to ująć w trzech punktach.

• Wolno bez ograniczeń wykonywać wszystkie konstrukcje cyrklem i linijką.

oraz przyjmuje się jako dane następujące fakty:

• Na płaszczyźnie prosta, przecinająca jeden z boków trójkąta i nieprzechodząca przez żaden z wierzchołków, przecina jeszcze jeden bok (nazywa się to aksjomatem Pascha).
• Symetrie zachowują wszystkie miary i relacje geometryczne.

Geometria oparta na początkowych czterech postulatach Euklidesa, a właściwie na podanym tutaj rozumieniu ich treści, nazywana jest geometrią absolutną.

Już Proklos zauważył, że

Rys. 1

Istotnie, obierzmy na  jakiś punkt  i niech środkiem odcinka  będzie  Jako  weźmy obraz symetryczny  względem  (Rys. 1). Gdyby proste  i  przecinały się w jakimś punkcie  to – ponieważ narysowana figura ma środek symetrii – również  byłby punktem wspólnym  i  a zatem dwie różne proste przecinałyby się w dwóch różnych punktach, co jest niemożliwe.

Wynika stąd natychmiast, że V postulat w aksjomatyce geometrii euklidesowej można zastąpić przez

Rys. 2

Nieco trudu trzeba sobie zadać, by wykazać, że podobną rolę pełni

Mianowicie do punktów  i  z rysunku 1 dołączmy jeszcze punkt  leżący na  i dowolną prostą  przechodzącą przez  biegnącą poniżej punktu  (Rys. 2). Tworzymy na  ciąg punktów, które spełniają warunek    Jak łatwo zauważyć (oznaczenia z rysunku),  (tu wykorzystujemy postulat sumy kątów – prawda?). Ponadto  co dla  dąży do

Prosta  tworzy z odcinkiem  kąt mniejszy od  (czemu?), a więc dla pewnego  mieści się w trójkącie  i wobec tego przecina

Jeśli więc udowodnimy w geometrii absolutnej postulat Playfaira lub postulat sumy kątów, to udowodnimy tym samym V postulat z początkowych czterech.

Rys. 3

Rys. 4

Rys. 5

Rys. 6

Potrzebne nam w tym celu będą jeszcze cztery twierdzenia geometrii absolutnej

Dokonując symetrii wierzchołka  względem środka boku  otrzymujemy punkt  W oznaczeniach z rysunku 3 mamy  – nierówność zachodzi na mocy aksjomatu Pascha (trójkąt  i prosta ).

Jeśli  to na odcinku  jest taki punkt  że Wówczas (Rys. 4)

Ostatnia nierówność wynika z poprzedniego twierdzenia.

Aby dowieść, że  odłóżmy  na przedłużeniu  (Rys. 5), otrzymując  Mamy

Stąd na mocy poprzedniego twierdzenia otrzymujemy

Takie dwa trójkąty możemy przemieścić w ten sposób, by jedna para równych boków pokryła się. Niech więc tymi trójkątami będą  i  i niech  Załóżmy też, że  Mamy wykazać, że  Narysujmy dwusieczną kąta  i oznaczmy jej punkt przecięcia z  przez  (Rys. 6). Mamy (symetria)  Zatem

co wynika z nierówności trójkąta.

Warsztat został skompletowany, przystępujemy do dowodów V postulatu. Każdy z nich przez pewien czas był uznawany za poprawny.

Rys. 7

Dowód postulatu Playfaira – Farkas Bolyai

Oznaczmy przez  rzut nieleżącego na prostej  punktu  na tę prostą (Rys. 7). Prosta  przechodząca przez  i prostopadła do  jest rozłączna z  (dlaczego?). Mamy wykazać, że każda inna prosta  przechodząca przez  przecina prostą  Obierzmy na  dowolnie punkt  i odbijmy go symetrycznie względem  i względem  otrzymując, odpowiednio,  i  Punkt  leży na prostej  a ponieważ  więc  na prostej  nie leży. Punkty      tworzą zatem trójkąt, a proste  i  są symetralnymi dwóch jego boków, a więc obie przechodzą przez środek okręgu opisanego na trójkącie  czyli przecinają się.

Farkas Bolyai (1775–1856), matematyk węgierski, ojciec jednego z odkrywców geometrii nieeuklidesowej.

Dowód postulatu sumy kątów – Adrien-Marie Legendre

Z sumą kątów związane jest pojęcie defektu trójkąta; dla trójkąta  jest to liczba

Postulat sumy kątów orzeka, że defekty wszystkich trójkątów są równe 0. Wystarczy więc udowodnić, że defekt nie może być dodatni ani ujemny.

Rys. 8

Przypuśćmy, że defekt trójkąta  jest ujemny. Ustawmy wobec tego jego kopie na prostej  tak jak na rysunku 8, oraz połączmy odcinkami kolejne kopie wierzchołka  Zauważmy, że ; wynika to z faktu, iż  a to dlatego, że  natomiast założyliśmy, że  przy czym

Oznaczmy  (jest to liczba dodatnia) i obliczmy długość łamanej :

Nietrudno zauważyć, że dla dużych  wartość nawiasu będzie ujemna, a to by znaczyło, że łamana jest krótsza od odcinka – sprzeczność z nierównością trójkąta.

Rys. 9

Zatem trójkątów z ujemnym defektem nie ma. Przypuśćmy, że jest choćby jeden,  który ma dodatni defekt  Odbijmy go symetrycznie względem środka odcinka  i przez obraz  punktu  poprowadźmy prostą przecinającą przedłużenia boków  i  w punktach  i  (Rys. 9). Zauważmy, że defekt trójkąta  jest sumą defektów czterech trójkątów, z jakich się składa – suma ta to  od czego trzeba odjąć sumy kątów wszystkich trójkątów. Ale w punktach    i  kąty te składają się na  pozostaje więc tylko jedno  minus suma kątów trójkąta  Na mocy pierwszej części dowodu widzimy, że

bo przy symetrii defekt się nie zmienia. Zatem taka operacja zwiększa defekt trójkąta co najmniej dwukrotnie. Można więc za jej pomocą uzyskać defekt większy niż  co by znaczyło, że trójkąt ma ujemną sumę kątów – sprzeczność.

Adrien-Marie Legendre (1752–1833), matematyk francuski, był także autorem podręczników szkolnych; przytoczony dowód władze oświatowe Francji poleciły umieścić w jednym z tych podręczników – jego znajomość obowiązywała uczniów przez ponad 20 lat.

Dowód nie wprost – Girolamo Saccheri

Tym razem rozumowanie jest następujące – przypuśćmy, że postulat sumy kątów jest nieprawdziwy. Wtedy – posługując się sytuacją z rysunku 2, uzyskamy rezultat, iż  dla  dąży do kąta  Wówczas prosta  nakreślona tak, by tworzyła z  kąt  będzie asymptotą prostej  A przecież proste nie mogą być asymptotyczne.

Girolamo Saccheri (1667–1733), matematyk włoski – jego prace zapoczątkowały podejrzenia, iż, być może, istnieją inne geometrie niż euklidesowa.

Tyle dowodów – w następnym numerze ci, którzy nie dostrzegli w nich nieuprawnionych przesłanek, będą mogli je znaleźć.

Tym, którzy chcieliby poznać intelektualne i psychiczne męki matematyków przez ponad tysiąc lat bezskutecznie dowodzących V postulatu, polecam wątek Velasqueza w szkatułkowej powieści Jana Potockiego Rękopis znaleziony w Saragossie.