Deltoid

Twierdzenie Brianchona

Poprzedni deltoid poświęcony był osiom potęgowym, między innymi twierdzeniu, które w skrócie brzmi tak: osie potęgowe trzech okręgów przecinają się w jednym punkcie. Ciekawym jego zastosowaniem jest dowód twierdzenia Brianchona.

Twierdzenie (Brianchona). Sześciokąt $\text{[math]}$ jest opisany na okręgu. Wówczas przekątne $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają się w jednym punkcie.

Dowód. Oznaczmy okrąg przez $\text{[math]}$ a jego punkty styczności do boków sześciokąta jak na rysunku 1. Ustalmy pewną długość $\text{[math]}$ Niech punkt $\text{[math]}$ leży na półprostej $\text{[math]}$ tak, by $\text{[math]}$ ; stąd $\text{[math]}$ Analogicznie zdefiniujmy punkty $\text{[math]}$ odpowiednio na półprostych $\text{[math]}$ (można wybrać $\text{[math]}$ tak, by $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ). Istnieje okrąg $\text{[math]}$ styczny do prostych $\text{[math]}$ odpowiednio w punktach $\text{[math]}$ – jest on obrazem $\text{[math]}$ w jednokładności względem punktu przecięcia prostych $\text{[math]}$ lub przesunięciem $\text{[math]}$ o $\text{[math]}$ jeśli proste te są równoległe. Analogicznie istnieje okrąg $\text{[math]}$ styczny do prostych $\text{[math]}$ w punktach $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ styczny do $\text{[math]}$ w $\text{[math]}$ Ponieważ $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ więc

display-math

Podobnie ponieważ $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ otrzymujemy

display-math

Prosta $\text{[math]}$ jest więc osią potęgową okręgów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Analogicznie prosta $\text{[math]}$ jest osią potęgową $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ jest osią potęgową $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Wobec tego proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ jako osie potęgowe trzech okręgów, przecinają się w jednym punkcie.

Uwaga. Twierdzenie Brianchona jest też prawdziwe dla sześciokątów zdegenerowanych, a także – ogólniej – dla sześciokątów opisanych na elipsach.