Deltoid

Osie potęgowe

Delta, marzec 2012

o artykule ...

Publikacja w Delcie: marzec 2012
Publikacja elektroniczna: 02-03-2012
Wersja do druku [application/pdf]: (90 KB)

Nieco więcej o potędze punktu względem okręgu.

Pojęcie potęgi punktu z poprzedniego deltoidu (przypomniane na marginesie) prowadzi do poniższych trudniejszych twierdzeń o ciekawych zastosowaniach.

Twierdzenie 1. Dla niewspółśrodkowych okręgów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ zbiór punktów $\text{[math]}$ takich że $\text{[math]}$ jest prostą, zwaną osią potęgową okręgów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ (Rys. 1).

Narzędzia
Obiekty: Okręgi
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Osie potęgowe»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Osie potęgowe
Publikacja w Delcie: marzec 2012
Publikacja elektroniczna: 02-03-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (90 KB)

Dane są dwa okręgi rozłączne zewnętrznie. Dla każdej z ich wspólnych stycznych rozważmy środek odcinka pomiędzy punktami styczności. Wykaż, że punkty te są współliniowe.

Rozwiązanie

Środek $\text{[math]}$ odcinka pomiędzy punktami styczności $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ ma jednakową potęgę $\text{[math]}$ względem każdego z okręgów, więc leży na ich osi potęgowej.

Narzędzia
Obiekty: Okręgi
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Osie potęgowe»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Osie potęgowe
Publikacja w Delcie: marzec 2012
Publikacja elektroniczna: 02-03-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (90 KB)

Okrąg o środku $\text{[math]}$ wpisany w czworokąt $\text{[math]}$ jest styczny do boków $\text{[math]}$ odpowiednio w punktach $\text{[math]}$ Proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Wykaż, że proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są prostopadłe.

Rozwiązanie

Niech $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Prosta $\text{[math]}$ jest styczna do $\text{[math]}$ bo $\text{[math]}$ Stąd

display-math

więc $\text{[math]}$ leży na osi potęgowej $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Ponadto

$pict$

więc $\text{[math]}$ także leży na osi potęgowej $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Oś potęgowa $\text{[math]}$ okręgów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ jest prostopadła do prostej $\text{[math]}$ łączącej ich środki.

Twierdzenie 2. Jeśli środki okręgów $\text{[math]}$ są parami różne, to osie potęgowe par okręgów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są równoległe (gdy środki tych okręgów są współliniowe) lub przecinają się w jednym punkcie (w przeciwnym przypadku).

Dowód. Jeśli środki okręgów leżą na jednej prostej, to osie potęgowe są prostopadłe do niej. W przeciwnym przypadku żadne dwie osie nie są równoległe; niech $\text{[math]}$ będzie punktem przecięcia osi $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ z osią $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Wtedy

display-math

więc $\text{[math]}$ leży też na osi potęgowej okręgów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Okręgi
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Osie potęgowe»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Osie potęgowe
Publikacja w Delcie: marzec 2012
Publikacja elektroniczna: 02-03-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (90 KB)

Dane są trzy okręgi o niewspółliniowych środkach; każda para okręgów się przecina. Wykaż, że proste zawierające ich wspólne cięciwy przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Proste te są osiami potęgowymi, więc teza wynika z twierdzenia 2.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Osie potęgowe»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Osie potęgowe
Publikacja w Delcie: marzec 2012
Publikacja elektroniczna: 02-03-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (90 KB)
Zadanie pochodzi z XLVI Olimpiady Matematycznej

Sześciokąt $\text{[math]}$ jest wypukły oraz $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Wykaż, że proste zawierające wysokości trójkątów $\text{[math]}$ poprowadzone odpowiednio z wierzchołków $\text{[math]}$ przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Niech $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Punkt $\text{[math]}$ należy do $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ więc osią potęgową tych okręgów jest rozważana w zadaniu prosta przechodząca przez $\text{[math]}$ i prostopadła do prostej $\text{[math]}$ łączącej ich środki. Pozostałe rozważane proste są osiami potęgowymi okręgów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Środki $\text{[math]}$ okręgów nie są współliniowe, więc osie potęgowe przecinają się w jednym punkcie.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Osie potęgowe»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Osie potęgowe
Publikacja w Delcie: marzec 2012
Publikacja elektroniczna: 02-03-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (90 KB)
Zadanie pochodzi z XLVI Olimpiady Matematycznej

Wewnątrz wielokąta wypukłego leży skończenie wiele parami rozłącznych okręgów. Wykaż, że można ten wielokąt podzielić na wielokąty wypukłe, z których każdy zawiera dokładnie jeden okrąg.

Wskazówka

Do części $\text{[math]}$ zawierającej okrąg $\text{[math]}$ niech należą punkty, których potęga względem $\text{[math]}$ jest mniejsza niż względem innych okręgów. Granice między częściami wyznaczają wtedy osie potęgowe (dlaczego?)...

Zadania domowe

Narzędzia
Obiekty: Okręgi
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Osie potęgowe»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Osie potęgowe
Publikacja w Delcie: marzec 2012
Publikacja elektroniczna: 02-03-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (90 KB)

Różne okręgi $\text{[math]}$ są współśrodkowe. Wykaż, że nie istnieje taki punkt $\text{[math]}$ że $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Okręgi
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Osie potęgowe»Zadanie 7

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Osie potęgowe
Publikacja w Delcie: marzec 2012
Publikacja elektroniczna: 02-03-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (90 KB)

Dany jest okrąg $\text{[math]}$ oraz punkty $\text{[math]}$ leżące w nierównych odległościach od środka tego okręgu. Udowodnij, że wspólne cięciwy okręgu $\text{[math]}$ z okręgami przechodzącymi przez punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą na prostych mających jeden punkt wspólny.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności