Deltoid

Potęga punktu

Delta, luty 2012

o artykule ...

Publikacja w Delcie: luty 2012
Publikacja elektroniczna: 01-02-2012
Wersja do druku [application/pdf]: (80 KB)

Twierdzenie. Prosta przechodząca przez punkt $\text{[math]}$ przecina okrąg $\text{[math]}$ w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ (Rys. 1 i Rys. 2). Wówczas wartość iloczynu $\text{[math]}$ nie zależy od wyboru prostej.

Dowód. Istotnie, w sytuacji z rysunku 1 mamy $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ Stąd $\text{[math]}$ czyli rzeczywiście $\text{[math]}$

Podobnie dla prostej stycznej do okręgu, $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ Stąd $\text{[math]}$ czyli także w tym przypadku $\text{[math]}$

Dowód, że $\text{[math]}$ w sytuacji z rysunku 2 przebiega analogicznie.

Zadanie 1. Sprawdź, że jeśli $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Potęga punktu»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Potęga punktu
Publikacja w Delcie: luty 2012
Publikacja elektroniczna: 01-02-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (80 KB)

Odcinki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ przy czym $\text{[math]}$ Wykaż, że punkty $\text{[math]}$ leżą na jednym okręgu.

Rozwiązanie

Niech okrąg $\text{[math]}$ opisany na trójkącie $\text{[math]}$ przecina prostą $\text{[math]}$ w drugim punkcie $\text{[math]}$ Wtedy

display-math

zatem $\text{[math]}$ Oba punkty $\text{[math]}$ leżą na prostej $\text{[math]}$ po tej samej stronie $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Potęga punktu»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Potęga punktu
Publikacja w Delcie: luty 2012
Publikacja elektroniczna: 01-02-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (80 KB)

W trójkącie ostrokątnym $\text{[math]}$ wysokość z wierzchołka $\text{[math]}$ przecina okrąg o średnicy $\text{[math]}$ w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ a wysokość z wierzchołka $\text{[math]}$ przecina okrąg o średnicy $\text{[math]}$ w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Wykaż, że punkty $\text{[math]}$ leżą na jednym okręgu.

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Potęga punktu»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Potęga punktu
Publikacja w Delcie: luty 2012
Publikacja elektroniczna: 01-02-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (80 KB)

Punkty $\text{[math]}$ leżą w tej kolejności na prostej, punkt $\text{[math]}$ – poza nią. Wykaż, że jeśli $\text{[math]}$ to prosta $\text{[math]}$ jest styczna do okręgu opisanego na $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Potęga punktu»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Potęga punktu
Publikacja w Delcie: luty 2012
Publikacja elektroniczna: 01-02-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (80 KB)

Punkty $\text{[math]}$ leżą w tej kolejności na prostej. Wyznacz zbiór punktów styczności prostych przechodzących przez $\text{[math]}$ do okręgów przechodzących przez $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Niech $\text{[math]}$ będzie jednym z rozważanych punktów styczności, wtedy $\text{[math]}$ Takie punkty leżą więc na okręgu $\text{[math]}$ Z kolei z zadania 4, każdy punkt z tego okręgu i spoza prostej $\text{[math]}$ należy do szukanego zbioru.

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Potęga punktu»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Potęga punktu
Publikacja w Delcie: luty 2012
Publikacja elektroniczna: 01-02-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (80 KB)

Okręgi $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są rozłączne zewnętrznie. Wspólne styczne, nierozdzielające ich, są styczne do $\text{[math]}$ w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ a do $\text{[math]}$ – odpowiednio w $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Odcinek $\text{[math]}$ przecina okręgi $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ odpowiednio w $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Wykaż, że $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Jako że $\text{[math]}$ to

display-math

Stąd $\text{[math]}$ więc też $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Potęga punktu»Zadanie 7

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Potęga punktu
Publikacja w Delcie: luty 2012
Publikacja elektroniczna: 01-02-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (80 KB)

Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą po różnych stronach prostej $\text{[math]}$ Skonstruuj taki okrąg, przechodzący przez punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ aby długość jego cięciwy $\text{[math]}$ wyznaczonej przez prostą $\text{[math]}$ była minimalna.

Wskazówka

Niech $\text{[math]}$ będzie punktem przecięcia prostej $\text{[math]}$ i odcinka $\text{[math]}$ Wartość $\text{[math]}$ nie zależy od wyboru okręgu. Z nierówności średnich

display-math

i równość zachodzi (czyli długość $\text{[math]}$ jest minimalna), gdy $\text{[math]}$ Jak skonstruować taki okrąg?

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Potęga punktu»Zadanie 8

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Potęga punktu
Publikacja w Delcie: luty 2012
Publikacja elektroniczna: 01-02-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (80 KB)

Czworokąt $\text{[math]}$ jest wpisany w okrąg. Punkt $\text{[math]}$ jest środkiem cięciwy $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Wykaż, że $\text{[math]}$

Wskazówka

Niech $\text{[math]}$ będzie drugim punktem przecięcia prostej $\text{[math]}$ i okręgu. Wtedy $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ (dlaczego?).

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Potęga punktu»Zadanie 9

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Potęga punktu
Publikacja w Delcie: luty 2012
Publikacja elektroniczna: 01-02-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (80 KB)

Na kartce narysowano łuk okręgu, którego środek jest poza kartką, oraz punkt $\text{[math]}$ na zewnątrz tego okręgu. Skonstruuj punkty styczności okręgu z prostymi przechodzącymi przez $\text{[math]}$ wiedząc, że punkty te mieszczą się na kartce.

Wskazówka

Narysuj prostą przez $\text{[math]}$ przecinającą dany łuk w dwóch punktach.

Pojęcie potęgi punktu, choć bardzo przydatne, jest tylko prostym wnioskiem z podobieństwa trójkątów. Okazuje się jednak, że pojęcie to prowadzi do ciekawych, trudniejszych twierdzeń – o tym w następnym deltoidzie.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności