Osobliwość trójkątów

Zasada Cavalieriego dla figur płaskich brzmi:
jeżeli dwie figury płaskie w przecięciu z każdą prostą równoległą do danej dają przekrój o tej samej długości, to pola tych figur są równe.

Pole figury $\text{[math]}$ zawartej między prostymi $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ gdzie $\text{[math]}$ oraz krzywymi $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ gdzie $\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$ można wyrazić wzorem

display-math

Jeśli wprowadzimy funkcję $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$ Ostatnia zależność dowodzi, że kształt figury $\text{[math]}$ nie ma żadnego znaczenia, ważna jest jedynie długość odcinków $\text{[math]}$ dla różnych wartości zmiennej $\text{[math]}$ Tę obserwację wyraża

Twierdzenie (Zasada Cavalieriego dla figur płaskich). Jeżeli dwie figury płaskie w przecięciu z każdą prostą równoległą do danej dają przekrój o tej samej długości, to pola tych figur są równe.

Przekroje nie muszą nawet być w jednym kawałku – wystarczy, żebyśmy umieli obliczyć sumaryczną długość takiego przekroju. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe – istnieją figury o równych polach, których nie można ułożyć na płaszczyźnie tak, że przecinane prostymi równoległymi o wskazanym kierunku, w każdym przypadku będą dawać przekroje o równych długościach.

Twierdzenie 1. Nie istnieje trójkąt $\text{[math]}$ o polu $\text{[math]}$ taki że przekroje pewnego koła o promieniu $\text{[math]}$ i trójkąta $\text{[math]}$ każdą prostą równoległą do danej są odcinkami o równych długościach.

Dowód. Gdyby istniało takie położenie koła o promieniu $\text{[math]}$ i trójkąta $\text{[math]}$ w którym każda prosta o ustalonym kierunku przecinałaby te figury na odcinkach równej długości (jeśli w ogóle by je przecinała), to prosta, która przechodziłaby przez środek koła, musiałaby przechodzić przez jeden z wierzchołków trójkąta i jej przecięcie z trójkątem miałoby długość $\text{[math]}$ Trójkąt $\text{[math]}$ zostałby podzielony na dwa trójkąty, dla których to przecięcie byłoby wspólną podstawą. Ponieważ opuszczone na nią wysokości w sumie miałyby długość $\text{[math]}$ więc pole trójkąta musiałoby być równe $\text{[math]}$ Uzyskana sprzeczność kończy dowód.

W przypadku trójkątów o równych polach sytuacja jest całkowicie odmienna, chociaż niełatwo to sobie wyobrazić, gdy patrzymy na dwa trójkąty o równych polach, z których jeden jest „cienki i długi”, a drugi „krótki i pękaty”.

Twierdzenie 2 (H. Eves, 1991). Dla trójkątów o równych polach istnieje takie ich położenie na płaszczyźnie, że każda prosta równoległa do danej przecina każdy z trójkątów na odcinku o tej samej długości.

Dowód. Załóżmy, że trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ mają równe pola. Rozpatrzmy dwa przypadki.

Przypadek 1. Jeden bok trójkąta $\text{[math]}$ ma taką samą długość jak jeden bok trójkąta $\text{[math]}$ Możemy przyjąć bez straty ogólności, że $\text{[math]}$ Umieszczamy trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ tak, aby boki $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ leżały na prostej $\text{[math]}$ zaś wierzchołki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżały w tej samej półpłaszczyźnie. Ponieważ trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ mają równe pola, więc wierzchołki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą na prostej $\text{[math]}$ równoległej do $\text{[math]}$ Sprawdźmy, że dla dowolnej prostej $\text{[math]}$ równoległej do $\text{[math]}$ jej przekroje z trójkątami $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są równe, czyli $\text{[math]}$ przy oznaczeniach z rysunku. Istotnie, z twierdzenia Talesa mamy

display-math

Przypadek 2. W trójkącie $\text{[math]}$ żaden bok nie ma takiej samej długości jak bok trójkąta $\text{[math]}$ Bez utraty ogólności rozważań przyjmujemy, że $\text{[math]}$ Umieszczamy trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ tak, że mają one wspólny wierzchołek $\text{[math]}$ boki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są równoległe i punkt $\text{[math]}$ należy do pasa wyznaczonego przez proste zawierające te odcinki. Niech $\text{[math]}$ będzie punktem przecięcia prostych $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$

Na odcinku $\text{[math]}$ jako na średnicy, wykreślamy okrąg $\text{[math]}$ Prosta przechodząca przez środki boków $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecina ten okrąg w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Wówczas prosta $\text{[math]}$ przecina odcinek $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ a odcinek $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ dzielą odcinki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ w takim samym stosunku, na mocy twierdzenia Talesa. Zatem pole trójkąta $\text{[math]}$ stanowi taką samą część pola trójkąta $\text{[math]}$ jaką częścią pola trójkąta $\text{[math]}$ jest pole trójkąta $\text{[math]}$ Ponieważ pola trójkątów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są równe, więc równe są też pola trójkątów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$

Ponadto, ponieważ $\text{[math]}$ i kąt $\text{[math]}$ jest prosty, więc $\text{[math]}$ Umieszczamy teraz trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ tak, by odcinki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżały na prostej $\text{[math]}$ a wierzchołki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżały w tej samej półpłaszczyźnie. Z równości pól trójkątów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ wynika, że wierzchołki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą na prostej $\text{[math]}$ równoległej do $\text{[math]}$ a wierzchołki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ na prostej $\text{[math]}$ także równoległej do $\text{[math]}$

Dwukrotne odwołanie do przypadku 1 kończy dowód twierdzenia.