Deltoid

Sumy nieskończone

Niektóre sumy nieskończone można zilustrować, tworząc nieskończony rysunek, którego pewna część jest podobna do całości. Na przykład na rysunku taką częścią jest jego prawa górna ćwiartka, a także prawa górna ćwiartka tej ćwiartki itd.

Poniżej kilka przykładów sum nieskończonych wraz z tego rodzaju ilustracjami. Na każdym z rysunków kolorowa część odpowiada rozważanej sumie.

Powyższe równości można też uzyskać ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego:

Twierdzenie. Dla $\text{[math]}$ zachodzi równość

display-math

Opis. Ustawmy kolejno kwadraty o bokach $\text{[math]}$

Połączmy lewe górne wierzchołki kolejnych kwadratów. Uzyskane odcinki leżą na jednej prostej, bo w każdym kwadracie prawy bok podzielony jest w takim samym stosunku $\text{[math]}$ Jasny trójkąt jest podobny do ciemnego (bo mają równe kąty), stąd równość stosunków długości ich przyprostokątnych: