Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej

O zawodach II stopnia LXII Olimpiady matematycznej

W zawodach II stopnia LXII Olimpiady Matematycznej wzięło udział 599 uczniów z całej Polski. Spośród nich do finału zakwalifikowano 139 osób.

Oto jeden z problemów, z którymi przyszło im się zmierzyć:

Zadanie. Punkty $\text{[math]}$ leżą w tej kolejności na półokręgu o środku $\text{[math]}$ przy czym $\text{[math]}$ Cięciwa $\text{[math]}$ przecina cięciwy $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ odpowiednio w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Wykazać, że

display-math

Jedną z metod używanych do dowodu tej równości było obrócenie układu punktów $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ o kąt $\text{[math]}$ wokół środka $\text{[math]}$ i stąd wnioskowanie o kątach. Przedstawimy jedno z najładniejszych rozwiązań tego typu. Opiera się ono na pracy ucznia Krzysztofa Kleinera z V LO im. Augusta Witkowskiego w Krakowie.

Rozwiązanie. Bez straty ogólności możemy założyć, że promień danego okręgu wynosi 1. Będziemy używać łukowych miar kątów, tzn. $\text{[math]}$ ma miarę równą długości łuku $\text{[math]}$ Ponieważ $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ W takim razie

display-math

Analogicznie

display-math

Oznaczmy, jak na rysunku, $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Mamy wtedy

display-math

Obróćmy płaszczyznę o kąt $\text{[math]}$ wokół punktu $\text{[math]}$ zgodnie z ruchem wskazówek zegara i oznaczmy obraz dowolnego punktu $\text{[math]}$ przez $\text{[math]}$ W szczególności mamy $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Punkt $\text{[math]}$ leży na okręgu, choć – być może – poza danym półokręgiem. Mamy wtedy następujące równości kątów:

display-math

Oznaczmy przez $\text{[math]}$ prostą zawierającą punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Ponieważ $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ Zauważmy teraz, że ośmiokąt $\text{[math]}$ jest przystający do figury $\text{[math]}$ Istnieje zatem izometria płaszczyzny przekształcająca punkty $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ odpowiednio na punkty $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Zatem obrazem prostej $\text{[math]}$ jest prosta $\text{[math]}$ prostej $\text{[math]}$ – prosta $\text{[math]}$ a prostej $\text{[math]}$ – prosta $\text{[math]}$ W takim razie: punkt $\text{[math]}$ przechodzi na $\text{[math]}$ a punkt $\text{[math]}$ na siebie.

Stąd wynika równość $\text{[math]}$ a z niej:

display-math

czego chcieliśmy dowieść.

Uwaga. Izometria, o której mowa w rozwiązaniu, to symetria względem prostej $\text{[math]}$ bo jest to złożenie obrotu o kąt $\text{[math]}$ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, wokół punktu $\text{[math]}$ z symetrią osiową względem prostej $\text{[math]}$ i jeszcze raz z tym samym obrotem.