Sprawa niezbyt pedagogiczna

Richard Feynman, laureat Nagrody Nobla z fizyki, miał bardzo krytyczny stosunek do rozważań czysto teoretycznych. Wspomina o tym Kai Lai Chung, wybitny probabilista amerykański, w książce Green, Brown and Probability.

Feynman wypowiadał się o eternal futility nie tylko matematyki wyższej, ale również teoretycznej fizyki i astronomii. Twierdził, że matematycy są niepotrzebni, bo gdy fizykowi jakiś wynik matematyczny będzie potrzebny, to sam potrafi go udowodnić. Wiedząc o tym, Chung postanowił z Feynmana zażartować i podczas spotkania w restauracji zaproponował mu udowodnienie następującego twierdzenia geometrycznego.

Twierdzenie. Boki trójkąta dzielimy na trzy równe części, a następnie łączymy odcinkami każdy z wierzchołków z pierwszym punktem podziału na przeciwległym boku. W rezultacie odcinki utworzą trójkąt, którego pole jest równe $\text{[math]}$ pola wyjściowego trójkąta.

Feynman przyjął ten fakt z niedowierzaniem i po kilku obliczeniach stwierdził, że twierdzenie nie jest prawdziwe, bo wskazują na to jego przybliżone obliczenia. Przyjął zakład, że ma rację, i poddał się dopiero wtedy, gdy stwierdził, że twierdzenie jest prawdziwe dla trójkąta równobocznego. W związku z tym zdarzeniem proponujemy kilka zadań.

Zadanie 1. Udowodnić sformułowane powyżej twierdzenie

a): dla trójkąta równobocznego,
b): dla trójkąta dowolnego.

Zadanie 2. Na bokach trójkąta zaznaczamy punkty w odległości od wierzchołków równej $\text{[math]}$ razy długość boku, gdzie $\text{[math]}$ i łączymy je odcinkami z przeciwległymi wierzchołkami. Jaki jest stosunek pól $\text{[math]}$ trójkąta utworzonego z odcinków i wyjściowego trójkąta?

Zadanie 3 (Kontynuacja zadania 2). Znaleźć wszystkie takie liczby naturalne $\text{[math]}$ że gdy $\text{[math]}$ to stosunek pól jest postaci $\text{[math]}$ dla pewnej liczby naturalnej $\text{[math]}$

Zadanie 4 (Kontynuacja zadania 3). Znaleźć wszystkie takie wymierne liczby $\text{[math]}$ że $\text{[math]}$ jest również liczbą wymierną.

Zadanie 5. Czy dla czworokątów prawdziwe jest twierdzenie analogiczne do twierdzenia przedstawionego Feynmanowi?

Zadanie 6 (Kontynuacja zadania 2). Wyznaczyć długości odcinków $\text{[math]}$ łączących wierzchołki z zaznaczonymi punktami w zależności od liczby $\text{[math]}$ i długości boków trójkąta $\text{[math]}$

Podpowiedzi.

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Niech $\text{[math]}$ będą długościami boków otrzymanego trójkąta. Wtedy $display-math$
Niech $\text{[math]}$ oznacza pole trójkąta o bokach $\text{[math]}$ Udowodnić, że $display-math$
( $\text{[math]}$ gdy $\text{[math]}$ ).

[Kai Lai Chung, Green, Brown and Probability, World Scientific, 1995.]