Deltoid

Twierdzenie Menelaosa

Delta, marzec 2011

o artykule ...

Publikacja w Delcie: marzec 2011
Publikacja elektroniczna: 02-03-2011
Wersja do druku [application/pdf]: (71 KB)

W wielu zadaniach dane są trzy punkty, które albo są współliniowe, albo należy to o nich udowodnić. Wygodnym narzędziem bywa wtedy Twierdzenie Menelaosa.

Treść twierdzenia przytaczamy w formie zadania (do samodzielnego rozwiązania).

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Twierdzenie Menelaosa»Zadanie 0

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Menelaosa
Publikacja w Delcie: marzec 2011
Publikacja elektroniczna: 02-03-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (71 KB)

Udowodnij twierdzenie

Twierdzenie (Menelaosa). Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą odpowiednio na bokach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ trójkąta $\text{[math]}$ a punkt $\text{[math]}$ na przedłużeniu boku $\text{[math]}$ Wówczas punkty $\text{[math]}$ są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy

display-math

Wskazówka

Zrzutuj punkty $\text{[math]}$ na prostą $\text{[math]}$ i zastosuj twierdzenie Talesa.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Twierdzenie Menelaosa»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Menelaosa
Publikacja w Delcie: marzec 2011
Publikacja elektroniczna: 02-03-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (71 KB)

W trójkącie $\text{[math]}$ punkty $\text{[math]}$ są spodkami dwusiecznych odpowiednio $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Punkt $\text{[math]}$ jest spodkiem dwusiecznej kąta zewnętrznego przy wierzchołku $\text{[math]}$ Udowodnij, że punkty $\text{[math]}$ leżą na jednej prostej.

Rozwiązanie

Twierdzenie o dwusiecznej orzeka, iż: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Zachodzi więc równość z Twierdzenie Menelaosa, co kończy dowód.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Twierdzenie Menelaosa»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Menelaosa
Publikacja w Delcie: marzec 2011
Publikacja elektroniczna: 02-03-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (71 KB)

Punkty $\text{[math]}$ należą odpowiednio do boków $\text{[math]}$ trójkąta $\text{[math]}$ proste $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Wykaż, że

display-math

Rozwiązanie

Z twierdzenia Menelaosa dla trójkąta $\text{[math]}$ i prostej $\text{[math]}$ zachodzi

display-math

Podobnie z TwM dla trójkąta $\text{[math]}$ i prostej $\text{[math]}$ otrzymujemy

display-math

Zatem

display-math

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Twierdzenie Menelaosa»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Menelaosa
Publikacja w Delcie: marzec 2011
Publikacja elektroniczna: 02-03-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (71 KB)

Sfera $\text{[math]}$ jest styczna do krawędzi $\text{[math]}$ czworościanu $\text{[math]}$ dpowiednio w punktach $\text{[math]}$ Wykaż, że leżą one na jednej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Załóżmy, że prosta $\text{[math]}$ przecina prostą $\text{[math]}$ w pewnym punkcie $\text{[math]}$ (poza odcinkiem $\text{[math]}$ Wtedy z twierdzenia Menelaosa dla trójkąta $\text{[math]}$ i prostej $\text{[math]}$ mamy

display-math

Odcinki stycznych do sfery z jednego punktu są równe, stąd $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Wobec powyższego

display-math

Zatem z twierdzenia Menelaosa dla trójkąta $\text{[math]}$ prosta $\text{[math]}$ przecina prostą $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ Stąd proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają się, więc punkty $\text{[math]}$ leżą na jednej płaszczyźnie. Prostszy przypadek $\text{[math]}$ pozostawiam jako ćwiczenie.

Zadania domowe

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Twierdzenie Menelaosa»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Menelaosa
Publikacja w Delcie: marzec 2011
Publikacja elektroniczna: 02-03-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (71 KB)

Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ leżą odpowiednio na bokach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ trójkąta $\text{[math]}$ a punkt $\text{[math]}$ na przedłużeniu boku $\text{[math]}$ przy czym punkty $\text{[math]}$ są współliniowe. Punkty $\text{[math]}$ są odpowiednio środkami boków $\text{[math]}$ zaś punkty $\text{[math]}$ – obrazami symetrycznymi punktów $\text{[math]}$ w symetriach względem $\text{[math]}$ Wykaż, że punkty $\text{[math]}$ są współliniowe.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Twierdzenie Menelaosa»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Menelaosa
Publikacja w Delcie: marzec 2011
Publikacja elektroniczna: 02-03-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (71 KB)

Udowodnij twierdzenie

Twierdzenie (Cevy). Punkty $\text{[math]}$ należą odpowiednio do boków $\text{[math]}$ trójkąta $\text{[math]}$ Wówczas proste $\text{[math]}$ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy

display-math

Narzędzia
Obiekty: Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Twierdzenie Menelaosa»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Menelaosa
Publikacja w Delcie: marzec 2011
Publikacja elektroniczna: 02-03-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (71 KB)

Wykaż, że złożenie jednokładności o środku $\text{[math]}$ i skali $\text{[math]}$ z jednokładnością o środku $\text{[math]}$ i skali $\text{[math]}$ jest jednokładnością o środku na prostej $\text{[math]}$

Do czytania

*: Twierdzenie Menelaosa jest bardzo podobne do omawianego tu miesiąc temu twierdzenia Cevy
*: Składaniu jednokładności poświęcony był Deltoid 3/2010.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności