Izogonalnie sprzężone

Tym razem o elipsie w zadaniach olimpijskich.

Definicja. Elipsa o ogniskach w punktach $\text{[math]}$ i o stałej $\text{[math]}$ to zbiór takich punktów $\text{[math]}$ płaszczyzny, że $\text{[math]}$ .

W poprzednim deltoidzie udowodniliśmy kilka własności elips (m.in. Rys. 1). W tym numerze wykorzystamy elipsy do rozwiązania zadań olimpijskich. Zacznijmy od jeszcze kilku własności.

Fakt 1. Z punktu $\text{[math]}$ poprowadzono proste $\text{[math]}$ styczne do elipsy o ogniskach $\text{[math]}$ odpowiednio w punktach $\text{[math]}$ Wówczas $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ .

Dowód. Niech $\text{[math]}$ będą obrazami ognisk $\text{[math]}$ w symetriach odpowiednio względem prostych $\text{[math]}$ (Rys. 2). Wtedy $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ oraz, z rysunku 1, $\text{[math]}$ . Wobec tego $\text{[math]}$ , zatem $\text{[math]}$ . Stąd równość kątów $\text{[math]}$ , czyli też ich połówek: $\text{[math]}$ .

Kolejno z symetrii, ze współliniowości punktów $\text{[math]}$ , z przystawania $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ oraz ze współliniowości punktów $\text{[math]}$ , mamy $\text{[math]}$ .

Ćwiczenia. Udowodnij, że:

a) dla dowolnych punktów $\text{[math]}$ , izogonalnie sprzężonych względem danych prostych $\text{[math]}$ (rysunek obok), istnieje elipsa o ogniskach $\text{[math]}$ styczna do tych prostych,
b) jeśli punkty $\text{[math]}$ wewnątrz trójkąta są izogonalnie sprzężone względem każdej z dwóch par prostych zawierających boki, to są też sprzężone względem trzeciej pary,
c) takie $\text{[math]}$ są wtedy ogniskami pewnej elipsy wpisanej w ten trójkąt,
d) w dowolny trójkąt ostrokątny można wpisać elipsę o ogniskach $\text{[math]}$ , gdzie $\text{[math]}$ to środek okręgu opisanego, a $\text{[math]}$ to ortocentrum trójkąta.