Deltoid

Dobrze się składa

Delta, marzec 2010

o artykule ...

Publikacja w Delcie: marzec 2010
Publikacja elektroniczna: 18-06-2010
Wersja do druku [application/pdf]: (91 KB)

Jednokładności były tematem styczniowego deltoidu. Jak każde przekształcenia, jednokładności można składać. Mimo, że wynik takiego złożenia nie musi być jednokładnością, to jednak jednokładności składają się dobrze.

Przypomnijmy, że jednokładność o środku $\text{[math]}$ i skali $\text{[math]}$ to przekształcenie geometryczne płaszczyzny, które punktowi $\text{[math]}$ przypisuje punkt $\text{[math]}$ spełniający warunek $\text{[math]}$

Na Marginesie

Jednokładność o skali dodatniej (prostą) oznaczamy $\text{[math]}$ o skali ujemnej zaś (odwrotną) $\text{[math]}$

Fakt. Dla nieprzystających okręgów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ istnieje dokładnie jedna jednokładność taka, że $\text{[math]}$ oraz dokładnie jedna taka, że $\text{[math]}$

Zachodzi następujące miłe twierdzenie, dowód pozostawiam jako zadanie.

Twierdzenie. Złożenie dwóch jednokładności jest albo jednokładnością o skali będącej iloczynem wyjściowych skal i środku współliniowym ze środkami składanych jednokładności, albo przesunięciem, jeśli iloczyn wyjściowych skal jest równy $\text{[math]}$ .

Skoro jednokładności tak dobrze się składa, zobaczmy kilka zastosowań.

Narzędzia: Jednokładności
Obiekty: Okręgi , Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Dobrze się składa»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Dobrze się składa
Publikacja w Delcie: marzec 2010
Publikacja elektroniczna: 18-06-2010
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (91 KB)

Okręgi $\text{[math]}$ są rozłączne zewnętrznie. Te dwie styczne do $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ , które nie rozdzielają tych okręgów, przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Analogicznie definiujemy punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Wykaż, że punkty $\text{[math]}$ są współliniowe.

Rozwiązanie

Punkty $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są środkami jednokładności $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ takich, że $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ . Złożenie $\text{[math]}$ to jednokładność prosta i $\text{[math]}$ Stąd jej środkiem, który na mocy twierdzenia musi leżeć na prostej $\text{[math]}$ , jest na mocy faktu punkt $\text{[math]}$

Narzędzia: Jednokładności
Obiekty: Okręgi , Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Dobrze się składa»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Dobrze się składa
Publikacja w Delcie: marzec 2010
Publikacja elektroniczna: 18-06-2010
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (91 KB)

Okręgi $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są rozłączne zewnętrznie i wpisane w kąt o wierzchołku $\text{[math]}$ . Okrąg $\text{[math]}$ jest styczny zewnętrznie do okręgów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ odpowiednio w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Udowodnij, że punkty $\text{[math]}$ są współliniowe.

Rozwiązanie

Rozważmy jednokładności $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ takie, że $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ . Jednokładność $\text{[math]}$ jest prosta oraz $\text{[math]}$ , więc jej środkiem musi być punkt $\text{[math]}$ . Leży on zatem na prostej $\text{[math]}$ .

Narzędzia: Jednokładności
Obiekty: Figury , Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Dobrze się składa»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Dobrze się składa
Publikacja w Delcie: marzec 2010
Publikacja elektroniczna: 18-06-2010
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (91 KB)

Okręgi $\text{[math]}$ są styczne odpowiednio do par boków $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ trójkąta $\text{[math]}$ . Okrąg $\text{[math]}$ jest styczny zewnętrznie do okręgów $\text{[math]}$ odpowiednio w punktach $\text{[math]}$ Wykaż, że proste $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Niech $\text{[math]}$ będzie okręgiem wpisanym w trójkąt $\text{[math]}$ . Istnieje $\text{[math]}$ taka, że $\text{[math]}$ , oraz $\text{[math]}$ taka, że $\text{[math]}$ , wtedy $\text{[math]}$ . Złożenie $\text{[math]}$ jest więc jednokładnością odwrotną, przeprowadzającą $\text{[math]}$ na $\text{[math]}$ (istnieje dokładnie jedna, nawet jeśli $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są przystające lub równe). Stąd jej środek leży na prostej $\text{[math]}$ . Analogicznie, leży też na prostych $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ .

Narzędzia: Jednokładności
Obiekty: Figury , Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Dobrze się składa»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Dobrze się składa
Publikacja w Delcie: marzec 2010
Publikacja elektroniczna: 18-06-2010
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (91 KB)

Czworokąt $\text{[math]}$ jest wpisany w okrąg o środku $\text{[math]}$ Punkty $\text{[math]}$ to ortocentra trójkątów, odpowiednio, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ Wykaż, że czworokąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są przystające.

Rozwiązanie

Niech punkty $\text{[math]}$ będą środkami ciężkości odpowiednio powyższych czterech trójkątów, $\text{[math]}$ zaś – środkiem ciężkości czwórki punktów $\text{[math]}$ . Z własności środków ciężkości, dla każdego $\text{[math]}$ punkty $\text{[math]}$ leżą, w tej właśnie kolejności, na jednej prostej oraz $\text{[math]}$ zatem $\text{[math]}$ Z twierdzenia o prostej Eulera, dla każdego $\text{[math]}$ punkty $\text{[math]}$ leżą, w tej właśnie kolejności, na jednej prostej oraz $\text{[math]}$ , stąd $\text{[math]}$ Złożenie $\text{[math]}$ to jednokładność o skali $\text{[math]}$ (symetria środkowa), która przeprowadza $\text{[math]}$ na $\text{[math]}$ . Zatem czworokąty te są przystające.

Poniższe zadanie pochodzi z L Olimpiady Matematycznej.

Narzędzia: Jednokładności
Obiekty: Figury , Przekształcenia
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Dobrze się składa»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: L Olimpiada Matematyczna
Zadanie pochodzi z artykułu Dobrze się składa
Publikacja w Delcie: marzec 2010
Publikacja elektroniczna: 18-06-2010
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (91 KB)

Punkty $\text{[math]}$ leżą odpowiednio na bokach $\text{[math]}$ trójkąta $\text{[math]}$ Okręgi wpisane w trójkąty $\text{[math]}$ są styczne do okręgu wpisanego w trójkąt $\text{[math]}$ Udowodnij, że proste $\text{[math]}$ przecinają się w jednym punkcie.