O tym, czego nie ma

Wielomian, który nie ma pierwiastków

Jak wiele innych ważnych twierdzeń matematyki, zasadnicze twierdzenie algebry, udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa w ostatnim roku osiemnastego stulecia, informuje nas, że pewne obiekty nie istnieją. Mianowicie, nie ma takiego, różnego od stałej, wielomianu zmiennej zespolonej, który nie znikałby w żadnym punkcie płaszczyzny zespolonej $\text{[math]}$

Dziś znanych jest wiele dowodów zasadniczego twierdzenia algebry, chciałoby się rzec, jeden piękniejszy od drugiego. Żaden, niestety, nie nadaje się do tego, by zwięźle i ze wszystkimi niezbędnymi szczegółami przedstawić go Czytelnikom Delty. Dla ciekawych – szkic dwóch różnych dowodów nie korzystających wcale z metod algebraicznych.

Pierwszy dowód zasadniczego twierdzenia algebry

Dowód opiera się na dwóch lematach, z których zasadnicze twierdzenie algebry wynika natychmiast.

Lemat 1. Jeśli $\text{[math]}$ jest wielomianem, to istnieje taki punkt $\text{[math]}$ w którym funkcja $\text{[math]}$ osiąga swój kres dolny.

Dowód. Wystarczy zauważyć, że dla punktów $\text{[math]}$ leżących poza dużym kołem domkniętym $\text{[math]}$ moduł wielomianu jest duży, zatem kresy dolne zbiorów $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są równe. Funkcja $\text{[math]}$ jest ciągła, więc na zwartym zbiorze $\text{[math]}$ osiąga swój kres dolny.

Lemat 2. Niech $\text{[math]}$ będzie wielomianem niezerowego stopnia. Jeśli $\text{[math]}$ jest takim punktem, że $\text{[math]}$ dla wszystkich $\text{[math]}$ to wtedy $\text{[math]}$

Dowód tego lematu jest trudniejszy i znacznie bardziej techniczny, lecz można go przeprowadzić dysponując jedynie elementarną wiedzą o liczbach zespolonych.

Dowód. Najprościej jest dokonać reductio ad absurdum a robi się to tak. Mnożąc w razie potrzeby wielomian przez stałą i przesuwając jego wykres, można założyć, że $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Przypuśćmy też, że wielomian $\text{[math]}$ nie zawiera dodatnich potęg $\text{[math]}$ mniejszych od $\text{[math]}$ -tej, $\text{[math]}$ Zatem $\text{[math]}$ Wtedy, dla $\text{[math]}$ mamy $\text{[math]}$ Zatem $\text{[math]}$ dla małych $\text{[math]}$ Nietrudno teraz wykazać, że dopisanie pod modułem pozostałych wyrazów wielomianu nic nie popsuje: jest ich skończenie wiele i wszystkie są blisko zera nieskończenie mniej ważne niż $\text{[math]}$ Dokładny dobór $\text{[math]}$ zostawiamy wytrwałym Czytelnikom.

Drugi dowód zasadniczego twierdzenia algebry

Ten dowód wykorzystuje tzw.

Twierdzenie (Liouville’a). Załóżmy, że $\text{[math]}$ jest funkcją ograniczoną. Jeśli $\text{[math]}$ jest różniczkowalna w każdym punkcie, tzn. dla każdego $\text{[math]}$ istnieje granica

display-math

to $\text{[math]}$ jest tożsamościowo równa pewnej stałej.

Dowód tego faktu można znaleźć w dowolnym podręczniku teorii funkcji zmiennej zespolonej. Warto zauważyć, że gdy liczby zespolone zastąpić rzeczywistymi, to twierdzenie Liouville’a będzie fałszywe (przykład: $\text{[math]}$ ).

Dowód zasadniczego twierdzenia algebry. Przypuśćmy teraz, że $\text{[math]}$ jest takim wielomianem zmiennej zespolonej, że $\text{[math]}$ dla wszystkich $\text{[math]}$ Nietrudno wtedy zauważyć, że funkcja dana wzorem $\text{[math]}$ spełnia wszystkie założenia twierdzenia Liouville’a (ograniczoność funkcji $\text{[math]}$ wynika, podobnie jak Lemat 1 w pierwszym dowodzie, z obserwacji, że moduł wielomianu nie może być mały na zewnątrz pewnego dużego koła). Zatem, $\text{[math]}$ a więc także $\text{[math]}$ co kończy dowód.