Zadanie

Narzędzia
Obiekty: Liczby naturalne, Podzielność, Rachunki
Słowa kluczowe
Kategoria: Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 8

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany
Publikacja w Delcie: styczeń 2020
Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)

Liczby $a,b,c$ są całkowite. Wykazać, że jeśli liczba $a3 + b3 +c3 −3abc$ dzieli się przez 3, to dzieli się ona również przez 9.

Wskazówka

Na mocy tożsamości (3) z artykułu wystarczy wykazać, że $|3 a + b+ c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $2 2 2 3 (b− c) + (c −a) + (a− b) .$ To ma miejsce dokładnie wtedy, gdy liczby $a,b,c$ dają trzy jednakowe albo trzy różne reszty z dzielenia przez 3.