Zadanie

Narzędzia
Obiekty: Wielomiany
Słowa kluczowe
Kategoria: Algebra

Twierdzenie Bézouta»Zadanie 10

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Bézouta
Publikacja w Delcie: grudzień 2019
Publikacja elektroniczna: 30 listopada 2019
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (374 KB)

Wyznaczyć wszystkie wielomiany $|P$ o współczynnikach całkowitych, które dla każdego naturalnego $|n$ spełniają podzielność $n P(n) 2 −1.$

Wskazówka

Jeśli wielomian $P$ jest stały, to $P(x) = 1$ lub $|P(x) = −1.$ W przeciwnym razie dla pewnego $|n$ mamy $| P(n) > 1,$ więc $P(n)$ ma pewien dzielnik pierwszy $p.$ Mamy wtedy też $p P (n+ p).$ Zatem z założeń zadania $|p 2n − 1$ i $p 2n+p− 1,$ więc $|p 2n+p −2n,$ czyli $p 2p −1.$ Jest to sprzeczne z małym twierdzeniem Fermata: $|p 2p− 2.$