Zadanie

Narzędzia
Obiekty: Wielomiany
Słowa kluczowe
Kategoria: Algebra

Twierdzenie Bézouta»Zadanie 9

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Twierdzenie Bézouta
Publikacja w Delcie: grudzień 2019
Publikacja elektroniczna: 30 listopada 2019
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (374 KB)

Wyznaczyć wszystkie niestałe wielomiany $P$ o współczynnikach całkowitych, spełniające warunek:
Dla każdej liczby całkowitej dodatniej $n$ co najwyżej jedna z liczb $|P(1),P(2),...,P(2n − 1)$ dzieli się przez $n.$

Wskazówka

Dla wszystkich dostatecznie dużych $k > 0$ mamy $P (k) ≠0.$ Niech $|n = P(k) .$ Ponieważ $n P (k),$ również $n P(k + n).$ Zatem $|k+ n ⩾ 2n,$ czyli $| P (k) = n ⩽k$ dla dużych $|k.$ Stąd można wywnioskować, że $P (x) = x$ albo $P (x) =− x.$