O tym, czego nie ma
Dlaczego w przestrzeni trójwymiarowej nie ma przyzwoitego mnożenia?
Płaszczyznę
można wyposażyć w działania dodawania i
mnożenia jej punktów. Dlaczego nie można tego zrobić z przestrzenią
?
Wszyscy uczyliśmy się w szkole dodawać i mnożyć liczby rzeczywiste. Łatwo wymienić podstawowe własności tych działań:
- (a)
- dodawanie jest łączne, przemienne i ma element neutralny; dla
każdego elementu
istnieje element przeciwny
;
- (b)
- mnożenie jest łączne, przemienne i ma element neutralny
; dla każdego elementu
istnieje element odwrotny
;
- (c)
- mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.
Oprócz zbioru liczb rzeczywistych
w szkole poznaliśmy też zbiory liczb
naturalnych
całkowitych
i wymiernych
Chociaż
w każdym z nich możemy liczby dodawać i mnożyć, tylko
obok
, spełnia wszystkie wymagania (a)–(c). Matematyk powie krótko,
że zbiory
i
są ciałami, a zbiory
i
ciałami
nie są.
Przykładem ciała większego od
jest zbiór liczb zespolonych
Przypomnijmy, że liczbami zespolonymi nazywamy wyrażenia postaci
gdzie
Liczby te dodajemy i mnożymy podobnie
jak wielomiany z wykorzystaniem dodatkowej relacji:
Nietrudno
sprawdzić, że tak określone działania mają własności (a)–(c), tj.
jest ciałem.
Ponieważ każda liczba zespolona
jest w istocie parą
liczb rzeczywistych
zbiór
możemy uznać za
płaszczyznę
wyposażoną w działania dodawania i mnożenia jej
punktów. Przy powyższej interpretacji działania te wyrażają się wzorami
oraz
Zauważmy, że powyższe dodawanie można łatwo uogólnić na przestrzeń
trójwymiarową
: należy trójki liczb dodawać jak wektory,
tj. „ po współrzędnych”
Powstaje ciekawe pytanie: czy przestrzeń trójwymiarową
można
wyposażyć dodatkowo w działanie mnożenia, które by wraz z takim
dodawaniem spełniało warunki (a)–(c)? Chcielibyśmy przy tym, by to
mnożenie było też zgodne z istniejącym w
mnożeniem przez
skalary, tj. aby zachodziły równości
dla dowolnych
oraz
O takim mnożeniu mówimy, że jest
dwuliniowe.
Udowodnimy
Twierdzenie. W przestrzeni
nie istnieje mnożenie, które by
wraz z dodawaniem „po współrzędnych” spełniało warunki (a)–(c).
Dowód poprowadzimy nie wprost. Przypuśćmy, że przestrzeń
ma takie mnożenie. O elementach
będzie nam wygodnie
myśleć, jak o wektorach zaczepionych w punkcie
Z warunku (b) wynika, że jeden z wektorów jest jedynką mnożenia
– oznaczymy go przez
. Niech
będzie prostą naciągniętą na tym
wektorze, tj.
Dla dowolnego wektora
oznaczmy przez
płaszczyznę naciągniętą na parze wektorów
,
. Najpierw zauważmy, że zachodzi
Lemat 1. Niech
Jeśli jego kwadrat
należy
do płaszczyzny
to
jest podzbiorem zamkniętym
względem dodawania, odejmowania, mnożenia i brania odwrotności.
Dowód. Oczywiście, płaszczyzna zawierająca punkt
jest
zamknięta względem dodawania i odejmowania wektorów.
Każdy element
jest postaci
dla pewnych
Kiedy pomnożymy dwa takie wyrażenia i otworzymy
nawiasy, otrzymamy kombinację wektorów
,
,
Ponieważ każdy z nich leży w
więc iloczyn naszych
wyrażeń też tam się znajdzie.
Pozostało wykazać, że jeśli
oraz
to
Jeśli
to
W przeciwnym przypadku
a zatem
Ponieważ wiemy już, że
jest zamknięte względem mnożenia, to
tj.
dla pewnych
Jeśli jest
to
a zatem
To jest jednak niemożliwe, ponieważ oba czynniki są różne od zera.
Mamy więc
a stąd
Zatem
A teraz zauważymy, że sytuacja z poprzedniego lematu... nigdy nie zachodzi.
Dowód. Przypuśćmy, że
i weźmy dowolny
wektor
Wtedy wektory
rozpinają całą
przestrzeń
W szczególności, wektor
może być
zapisany jako ich kombinacja:
Ale wtedy
czyli
Z Lematu 1 wiemy, że wyrażenie
po prawej stronie należy do
Zatem
wbrew
założeniu.
Dokończenie dowodu twierdzenia. Weźmy dowolny
wektor
Z Lematu 2 wnosimy, że wektory
rozpinają przestrzeń
Zatem wektor
jest ich kombinacją:
Rozważmy funkcję
Ponieważ
dla
wielkich liczb ujemnych oraz
dla wielkich liczb dodatnich,
więc istnieje taka liczba
że
Wobec tego mamy
tożsamość
Podstawiając wektor
w miejsce zmiennej
otrzymujemy

Z założenia oraz z Lematu 2 wynika, że obydwa czynniki są różne od zera. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
Uwaga dla koneserów: w dowodzie nie użyliśmy przemienności mnożenia.
A zatem przestrzeń
nie ma nawet struktury nieprzemiennej algebry
z dzieleniem