Mała Delta
O tym, czego nie ma
Wielościan o siedmiu krawędziach i jego znajomi
Dla każdej liczby naturalnej
można, oczywiście, narysować
wielokąt, który ma
boków. A jak to będzie z wielościanami
o zadanej z góry liczbie krawędzi?

Rys. 1
Po pierwsze, nie uda się nikomu skonstruować wielościanu o
krawędziach
dla
ze zbioru
Wielościan bowiem musi mieć
przynajmniej cztery wierzchołki (trzy to jeszcze za mało, bo trzy punkty zawsze
leżą w jednej płaszczyźnie), a z każdego wierzchołka wychodzić muszą
przynajmniej trzy krawędzie. Ponieważ każda krawędź łączy ze sobą dwa
wierzchołki, to krawędzi musi być przynajmniej
Pięć albo
mniej – to jeszcze za mało.
Wielościan o sześciu krawędziach, oczywiście, istnieje: to czworościan.
Nietrudno także jest wskazać wielościany o
krawędziach dla
Będą to ostrosłupy o podstawie czworokąta, pięciokąta,
sześciokąta, … (patrz Rys. 1 (lewa kolumna)).
Skonstruujemy teraz serię wielościanów o nieparzystej liczbie krawędzi równej odpowiednio 9, 11, 13, …. Wystarczy każdemu z ostrosłupów z rysunku 1 tak obciąć rożek przy podstawie, jak pokazuje to rysunek 2 (prawa kolumna). Przybędą wtedy trzy nowe krawędzie (jedna na każdej ścianie przy odcinanym rożku).

Rys. 2 Gdy płaszczyznę cięcia prowadzimy równolegle do ustalonej krawędzi wielościanu i niedaleko od niej, to na przekroju otrzymujemy wielokąt, który ma przynajmniej dwa boki równoległe.
Ile by się kto nie męczył, nie uda mu się do katalogu z rysunków 1 i 2
dołożyć wielościanu o siedmiu krawędziach. Gdyby bowiem taki wielościan
istniał, to miałby przynajmniej pięć wierzchołków (wielościan o czterech
wierzchołkach to czworościan, który ma sześć krawędzi). Z każdego
wierzchołka wychodzą przynajmniej 3 krawędzie, każda łączy dwa wierzchołki,
więc nasz wielościan miałby krawędzi przynajmniej
To sprzeczność, która dowodzi, że wielościanu o siedmiu krawędziach
nie ma.
Rozumując tak samo można udowodnić, że nie ma wielościanu o nieparzystej liczbie ścian, z których każda jest trójkątem.
Nie ma także wielościanu wypukłego, w którym każda ściana byłaby
wielokątem o innej liczbie boków. Gdyby bowiem istniał, to wybralibyśmy
ścianę o największej liczbie boków, powiedzmy
Przylegałoby do niej
innych ścian, każda o innej liczbie boków, nie mniejszej
niż 3 i nie większej niż
Takich ścian może być jednak
co najwyżej
sprzeczność.
Na koniec udowodnimy, że nie ma wielościanu, którego każdy przekrój byłby trójkątem. Ustalmy dowolną krawędź wielościanu i tak poprowadźmy płaszczyznę przekroju, by była do tej krawędzi równoległa i w dodatku przecinała obie przylegające do niej ściany (Rys. 2). Na przekroju powstanie wielokąt o dwóch bokach równoległych – nie będzie to więc trójkąt.
Jeszcze i innych nieistniejących znajomych wielościanu o siedmiu krawędziach można wymyśleć wielu. Polecamy tę pouczającą zabawę.