- Narzędzia
- Obiekty
- Liczby rzeczywiste , Wielomiany
- Słowa kluczowe
- Kategoria
- Algebra
Matematyka jest jedna: wielomiany mogą wszystko»Zadanie 2
o zadaniu...
- Zadanie pochodzi z artykułu Matematyka jest jedna: wielomiany mogą wszystko
- Publikacja w Delcie: wrzesień 2015
- Publikacja elektroniczna: 31-08-2015
Udowodnić, że liczba

jest niewymierna.
Rozwiązanie
Oznaczmy sumę daną w zadaniu przez Udowodnimy najpierw, że liczba
nie jest całkowita. Zauważmy w tym celu, że dla dowolnej liczby całkowitej
zachodzą nierówności

Pierwsza z nich jest oczywista, zaś druga po podniesieniu do kwadratu redukuje się do

co jest prawdą, gdyż
W szczególności dla dowolnego prawdziwe są nierówności

Wynika stąd, że suma nie jest liczbą całkowitą, gdyż część ułamkowa każdego z jej
składników jest mniejsza niż
Dowodzi to naszego stwierdzenia.
Może się wydawać, że do osiągnięcia celu jest jeszcze daleko. Liczba, która nie jest całkowita, nie musi przecież od razu być niewymierna. W tym jednak momencie można zacząć podejrzewać, jaką rolę odegrają własności wielomianów. W następnym kroku udowodnimy bowiem, że istnieje wielomian unormowany o współczynnikach całkowitych, taki, że
Stąd już natychmiast otrzymamy tezę zadania, gdyż z twierdzenia o pierwiastku wymiernym wynika, że każdy wymierny pierwiastek wielomianu
jest również całkowity. W szczególności, skoro
to tym samym
Za pomocą indukcji po wykażemy ogólniejsze stwierdzenie: dla dowolnych liczb całkowitych
istnieje unormowany wielomian
o współczynnikach całkowitych, dla którego

Gdy wystarczy przyjąć
Załóżmy więc, że
oraz istnieje wielomian unormowany
o współczynnikach całkowitych, dla którego
gdzie
Przyjmijmy, że stopień wielomianu
to
i że
zapisuje się w postaci
W szczególności

Po rozwinięciu wszystkich potęg ze wzoru dwumianowego Newtona otrzymujemy równanie postaci

gdzie i
są wielomianami o współczynnikach całkowitych stopnia mniejszego niż
Przenosząc składnik
na drugą stronę i podnosząc obie strony równości do kwadratu, dostajemy

W szczególności liczba jest pierwiastkiem unormowanego wielomianu

Kończy to zarówno dowód indukcyjny, jak i rozwiązanie zadania.
Uwaga
Twierdzenie (O pierwiastku wymiernym). Jeżeli liczba wymierna (zapisana w postaci nieskracalnej) jest pierwiastkiem wielomianu

o współczynnikach całkowitych, to oraz
W szczególności, jeżeli współczynnik wiodący wielomianu
jest równy
to dowolny pierwiastek tego wielomianu, który jest liczbą wymierną, jest również liczbą całkowitą.