Oznaczmy sumę daną w zadaniu przez Udowodnimy najpierw, że liczba nie jest całkowita. Zauważmy w tym celu, że dla dowolnej liczby całkowitej zachodzą nierówności

Pierwsza z nich jest oczywista, zaś druga po podniesieniu do kwadratu redukuje się do

co jest prawdą, gdyż

W szczególności dla dowolnego prawdziwe są nierówności

Wynika stąd, że suma nie jest liczbą całkowitą, gdyż część ułamkowa każdego z jej składników jest mniejsza niż Dowodzi to naszego stwierdzenia.

Może się wydawać, że do osiągnięcia celu jest jeszcze daleko. Liczba, która nie jest całkowita, nie musi przecież od razu być niewymierna. W tym jednak momencie można zacząć podejrzewać, jaką rolę odegrają własności wielomianów. W następnym kroku udowodnimy bowiem, że istnieje wielomian unormowany o współczynnikach całkowitych, taki, że Stąd już natychmiast otrzymamy tezę zadania, gdyż z twierdzenia o pierwiastku wymiernym wynika, że każdy wymierny pierwiastek wielomianu jest również całkowity. W szczególności, skoro to tym samym

Za pomocą indukcji po wykażemy ogólniejsze stwierdzenie: dla dowolnych liczb całkowitych istnieje unormowany wielomian o współczynnikach całkowitych, dla którego

Gdy wystarczy przyjąć Załóżmy więc, że oraz istnieje wielomian unormowany o współczynnikach całkowitych, dla którego gdzie Przyjmijmy, że stopień wielomianu to i że zapisuje się w postaci W szczególności

Po rozwinięciu wszystkich potęg ze wzoru dwumianowego Newtona otrzymujemy równanie postaci

gdzie i są wielomianami o współczynnikach całkowitych stopnia mniejszego niż Przenosząc składnik na drugą stronę i podnosząc obie strony równości do kwadratu, dostajemy

W szczególności liczba jest pierwiastkiem unormowanego wielomianu

Kończy to zarówno dowód indukcyjny, jak i rozwiązanie zadania.