O tym, czego nie ma
O kilku zbiorach, których nie ma
Cóż prostszego, jak stworzyć zbiór z dowolnych prawdziwych lub wymyślonych obiektów! Czyż zbiór nie jest po prostu pewną konstrukcją myślową? Wystarczy zatem pomyśleć o owych obiektach jako o elementach jednego zbioru – i już.
Jak pięknie. Niestety, mniej więcej 90 lat temu Bertrand Russell wpadł na pomysł,
by rozważyć zbiór (nazwijmy go
), do którego ma należeć
każdy taki zbiór, który nie jest sam swoim własnym elementem, i tylko takie
zbiory. Inaczej mówiąc,

I oto okazało się, że coś jest nie tak jak trzeba. Mianowicie, czy
?
Jeśli tak, to
nie może należeć do
bo nie spełnia
wymaganego warunku. Jeśli nie, to musi należeć do
bo spełnia
wymagany warunek. Ta sprzeczność każe wnioskować, że taki zbiór
nie może istnieć.
Mamy tu pierwszy przykład zbioru, który nie jest zbiorem, bo go nie ma. Przykład okazał się zresztą bardzo przydatny, bo matematycy zajęli się budową takich podstaw teorii mnogości, by podobne sprzeczności nie mogły wystąpić.
Swego czasu Georg Cantor udowodnił, że każdy zbiór ma mniej
elementów niż podzbiorów. Mówiąc nieco dokładniej, jeśli w jakikolwiek
sposób przyporządkujemy każdemu elementowi (dowolnego) zbioru
pewien podzbiór zbioru
to na pewno zostanie jeszcze
sporo podzbiorów „bez przydziału”. (Mówiąc jeszcze dokładniej, moc
zbioru
jest ostro mniejsza od mocy zbioru
wszystkich
podzbiorów zbioru
) Z tego twierdzenia Cantora (spytajcie dowolnego
studenta matematyki po I semestrze studiów, czy słyszał o twierdzeniu
Cantora!) wynika kilka ciekawych wniosków pozytywnych, ale także
wiele negatywnych, czyli takich, które mówią o tym, że coś nie
istnieje.
Po pierwsze, nie istnieje „zbiór wszystkich zbiorów”, czyli taki zbiór,
do którego należy każdy zbiór. Istotnie, przypuśćmy, że
jest
takim zbiorem. Wtedy każdy jego podzbiór – będąc zbiorem – jest
jednocześnie jego elementem, a zatem
ma nie więcej podzbiorów
niż elementów – sprzeczność z twierdzeniem Cantora.
Widać mieliśmy za duże wymagania. Może uda się utworzyć zbiór wszystkich zbiorów jednoelementowych?
Takich jest przecież dużo mniej niż wszystkich zbiorów... Niestety. Gdyby
taki zbiór, powiedzmy
istniał, to dla dowolnego zbioru
elementem zbioru
byłby jednoelementowy zbiór
Ale wtedy
wzięlibyśmy sumę zbiorów należących do
(czyli zbiór złożony ze
wszystkich takich elementów, które należą do choćby jednego elementu
zbioru
) – a zgodnie z aksjomatami teorii mnogości, suma zbiorów
należących do jednego zbioru jest znowu zbiorem – i okazałoby się,
że elementem owej sumy jest każdy zbiór. Rzeczywiście, zbiór
jest
elementem zbioru
należącego do
A przecież już wiemy,
że taki zbiór nie istnieje! Zatem nie istnieje także zbiór wszystkich zbiorów
jednoelementowych.
A czy istnieje zbiór ze 149 podzbiorami? Znów pudło. Nie istnieje też zbiór,
który miałby dokładnie 196 albo 245 280 podzbiorów. Uzasadnienie tej tezy nie
wymaga sprawdzenia każdego zbioru i policzenia jego podzbiorów. Po prostu
liczba podzbiorów skończonego zbioru
-elementowego (oczywiście,
żaden zbiór nieskończony nie ma dokładnie 149 podzbiorów!) jest równa
Co więcej, ten fakt powinien być znany wielu uczniom szkoły
średniej, a w każdym razie tym, którzy widzieli kiedyś następującą
równość:

traktowaną jako własność kombinatoryczna. A przecież
to
nic innego jak liczba
-elementowych podzbiorów zbioru
-elementowego! Zatem
jest liczbą wszystkich (a więc
i 0-elementowego i 1-elementowych, … i
-elementowego) podzbiorów
zbioru
-elementowego.
Dobrze, jeśli nie 149 i nie 196, i nie 245 280, to może da się znaleźć
zbiór, który miałby tyle podzbiorów, ile jest liczb naturalnych (czyli
przeliczalnie wiele)? Nie wątpię, że nie spodziewasz się już, drogi Czytelniku,
odpowiedzi pozytywnych w tym artykule. I rzeczywiście. Żaden zbiór
skończony nie ma tylu podzbiorów, bo ma ich tylko skończenie wiele. Jeśli
natomiast
jest zbiorem nieskończonym, to ma co najmniej tyle
elementów, ile jest liczb naturalnych, bo po wyjęciu
elementów z
– dla dowolnej liczby naturalnej
– możemy jeszcze znaleźć
w nim kolejny,
-szy element. Jeśli tak, to z twierdzenia Cantora
wynika, że
musi mieć więcej podzbiorów niż jest liczb
naturalnych!
Po tym wszystkim można zapytać, czy w ogóle istnieją jakieś zbiory. Tak. Na pewno istnieje zbiór pusty.