Przykładami wielomianów, o jakich mowa, stopni oraz mogą być oraz Wykażemy, że nie istnieje wielomian o podanych własnościach, stopnia

Przypuśćmy, że jest takim wielomianem. Zestaw wszystkich pierwiastków wielomianu rozdzielamy na ciąg pierwiastków wielomianu oraz ciąg pierwiastków wielomianu Wówczas

(1)

Podstawiając mamy skąd wynika, że najmniejszy z czynników tego iloczynu jest liczbą ujemną: Wobec tego jest liczbą większą od wszystkich Widzimy ponadto, że liczby nie mogą być wszystkie równe, bo liczba nie jest iloczynem równych liczb całkowitych. Zatem

Podstawiając z kolei w równaniu (1) dostajemy Jest to iloczyn dodatnich liczb całkowitych; największa musi być dwójką, a pozostałe jedynkami - to znaczy,

(2)

Wracamy do równania (1) i podstawiamy ; otrzymujemy równość Zgodnie ze wzorami (2), przepisujemy ją w postaci

(3)

Skoro czynnik musi być równy Gdyby był równy znaczyłoby to, że wbrew wcześniejszemu spostrzeżeniu. Gdyby był równy w pierwszym nawiasie wzoru (3) mielibyśmy Równość (3) doprowadziła do sprzeczności.

Wielomiany o postulowanych własnościach istnieją więc tylko dla i (Nietrudno znaleźć ich ogólną postać - zostawiamy to jako ćwiczenie).