Wszyscy uczyliśmy się w szkole dodawać i mnożyć liczby rzeczywiste. Łatwo wymienić podstawowe własności tych działań:

(a)

dodawanie jest łączne, przemienne i ma element neutralny; dla każdego elementu istnieje element przeciwny ;

(b)

mnożenie jest łączne, przemienne i ma element neutralny ; dla każdego elementu istnieje element odwrotny ;

(c)

mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.

Oprócz zbioru liczb rzeczywistych w szkole poznaliśmy też zbiory liczb naturalnych całkowitych i wymiernych Chociaż w każdym z nich możemy liczby dodawać i mnożyć, tylko obok , spełnia wszystkie wymagania (a)–(c). Matematyk powie krótko, że zbiory i są ciałami, a zbiory i ciałami nie są.

Przykładem ciała większego od jest zbiór liczb zespolonych Przypomnijmy, że liczbami zespolonymi nazywamy wyrażenia postaci gdzie Liczby te dodajemy i mnożymy podobnie jak wielomiany z wykorzystaniem dodatkowej relacji: Nietrudno sprawdzić, że tak określone działania mają własności (a)–(c), tj. jest ciałem.

Ponieważ każda liczba zespolona jest w istocie parą liczb rzeczywistych zbiór możemy uznać za płaszczyznę wyposażoną w działania dodawania i mnożenia jej punktów. Przy powyższej interpretacji działania te wyrażają się wzorami oraz

Zauważmy, że powyższe dodawanie można łatwo uogólnić na przestrzeń trójwymiarową : należy trójki liczb dodawać jak wektory, tj. „ po współrzędnych”

Powstaje ciekawe pytanie: czy przestrzeń trójwymiarową można wyposażyć dodatkowo w działanie mnożenia, które by wraz z takim dodawaniem spełniało warunki (a)–(c)? Chcielibyśmy przy tym, by to mnożenie było też zgodne z istniejącym w mnożeniem przez skalary, tj. aby zachodziły równości dla dowolnych oraz O takim mnożeniu mówimy, że jest dwuliniowe.

Udowodnimy

Dowód poprowadzimy nie wprost. Przypuśćmy, że przestrzeń ma takie mnożenie. O elementach będzie nam wygodnie myśleć, jak o wektorach zaczepionych w punkcie

Z warunku (b) wynika, że jeden z wektorów jest jedynką mnożenia – oznaczymy go przez  . Niech będzie prostą naciągniętą na tym wektorze, tj. Dla dowolnego wektora oznaczmy przez płaszczyznę naciągniętą na parze wektorów , . Najpierw zauważmy, że zachodzi

A teraz zauważymy, że sytuacja z poprzedniego lematu... nigdy nie zachodzi.

Dokończenie dowodu twierdzenia. Weźmy dowolny wektor Z Lematu 2 wnosimy, że wektory rozpinają przestrzeń Zatem wektor jest ich kombinacją:

Rozważmy funkcję Ponieważ dla wielkich liczb ujemnych oraz dla wielkich liczb dodatnich, więc istnieje taka liczba że Wobec tego mamy tożsamość Podstawiając wektor w miejsce zmiennej otrzymujemy

Z założenia oraz z Lematu 2 wynika, że obydwa czynniki są różne od zera. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

---

Uwaga dla koneserów: w dowodzie nie użyliśmy przemienności mnożenia. A zatem przestrzeń nie ma nawet struktury nieprzemiennej algebry z dzieleniem