Rachunki

Fibonacci spotyka Banacha

Fibonacci (właściwie Leonardo z Pizy, ok. 1170-1240) nauczył się zasad arytmetyki hindusko-arabskiej, gdy razem z ojcem przebywał w Bougie (obecnie algierska Bidżaja). Poszerzał swoją wiedzę podczas podróży do Egiptu, Syrii, Grecji, na Sycylię, do Prowansji. Gdy osiadł w Pizie, w 1202 roku napisał traktat Liber Abaci (Księga rachunków), z myślą o rozpowszechnieniu w Europie notacji dziesiętnej opartej na wykorzystaniu cyfr 0,1,2, ...,9. Pokazał w nim użyteczność nowych metod na wielu przykładach rachunkowych, szczególnie związanych z przeliczaniem miar i wag, obliczaniem zysków i odsetek, wymianą pieniędzy...

W 1225 roku napisał rozprawę Liber Quadratorum, która miała być kontynuacją Arytmetyki Diofantosa. Problemy rozważane przez Leonarda nie są banalne. Przekonujemy się o tym, rozwiązując zadania zamieszczone w jego tekstach:

Choć traktat Liber Abaci przyczynił się do rozwoju bankowości i rachunkowości w Europie, to największą sławę przyniósł Fibonacciemu niezwykły ciąg

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,...,

wykorzystany w rozwiązaniu zadania 4. Wcześniej, w VI wieku, ciąg ten został opisany przez matematyków hinduskich (Virahanka), ale wtedy nie wzbudził zainteresowania.

Definicja. Ciągiem Fibonacciego $|{Fn},$ o generatorach $|F1 = 1,$ $|F2 = 1,$ nazywamy ciąg, którego kolejne wyrazy spełniają równość $|F = F + F n n− 1 n−2$ dla $n > 2.$

Ciągi z rodziny Fibonacciego (otrzymane dla różnych generatorów, przy rozmaitych modyfikacjach formuły na obliczanie wartości $F n$ ) budzą wiele emocji u matematyków oraz miłośników matematyki rekreacyjnej. Dzieje się tak za sprawą odkrywania obecności ciągu Fibonacciego w naszym otoczeniu (np. w botanice), w sztuce - złota proporcja, w zastosowaniach ciągu Fibonacciego w teorii liczb. Nie wszystko o nim wiemy: w ciągu Fibonacciego występują liczby pierwsze $|2,3,5,13,89,233,...,$ ale czy liczb pierwszych jest w nim nieskończenie wiele?

W 1611 roku Johannes Kepler w pracy Strena, Seu de Nive Sexangula, o sześciokątnych płatkach śniegu, ponownie odkrył ciąg Fibonacciego i zgadł, że kolejne proporcje $-Fn- |Fn−1 ,$ czyli stosunki $1 2-3- 5- 8- |1 , 1 ,2 ,3 ,5 ,$ $...,$ bardzo szybko, choć raz z lewej, raz z prawej strony, zbliżają się do wartości $√-- |φ = 1+--5--≈1,61803... 2$ Liczba ta, zwana złotą proporcją, od Starożytności była wykorzystywana w sztuce, zwłaszcza w architekturze jako "reguła piękna" - wielkości, których stosunek jest równy $φ ,$ mają się wyróżniać przyjemną estetyką.

Gdy wiemy, że w przedziale domkniętym na prostej euklidesowej $R$ każdy ciąg spełniający warunek Cauchy'ego jest zbieżny, to spostrzeżenie Keplera możemy uzasadnić w oparciu o twierdzenie Stefana Banacha o punkcie stałym z 1922 roku.

Twierdzenie. Niech $|T [a,b] [a,b]$ silnie zbliża każdą parę punktów $($ istnieje $M < 1,$ że $Tx − Ty ⩽ M x− y$ dla wszystkich $|x,y ∈[a,b]).$ Wtedy istnieje dokładnie jeden taki punkt $|u∈ [a,b],$ że $|u = Tu.$

Uzasadnienie jest łatwe. Gdyby $u = Tu ≠ Tv = v,$ to otrzymamy sprzeczność,

0 < u − v = Tu −Tv ⩽ M u − v < u − v .

Zatem jeśli punkt stały istnieje, to dokładnie jeden. Weźmy dowolne $|x0∈ [a,b]$ i utwórzmy ciąg $xn = T xn−1,n = 1,2,...$ Wówczas

$pict$

Ponieważ

$pict$

więc

---1-- xn+k− xn ⩽ 1 −M { xn+k+1−xn+k + xn+1−xn } 0,gdyn ∞ ,

a to oznacza, że ${x } n$ jest ciągiem Cauchy'ego i $x u∈ [a,b]. n$ Warunek $|xn = T xn−1,n ⩾ 1,$ oraz ciągłość przekształcenia $T$ zapewniają, że $|u = Tu.$

Zastosowanie.
Z warunku $|Fn = Fn−1 + Fn−2$ dla $n > 2$ mamy

-Fn-= 1+ --1--. Fn−1 -Fn−1 F n−2

Zależność tę możemy zapisać w postaci

1 F xn = T xn−1 = 1+---,gdziexn =--n- . xn−1 Fn −1

Zauważmy, że dla funkcji $3- 3- T [2 ,2] [2 ,2]$ danej wzorem $1- T x = 1+ x$ mamy

1 1 1 4 3 T x− Ty = -−- =--- x − y ⩽- x −y ,gdyx, y∈ [-,2]. x y xy 9 2

Zatem z twierdzenia Banacha ciąg $y0 = 3,yn = Tyn−1,n ⩾1 2$ jest zbieżny do wartości $√-- | 1+--5-- φ = 2 ,$ która jest pierwiastkiem równania $-1 |x = 1+ x$ w przedziale $3- [2 ,2].$ Ponieważ $Fn+3 yn = Fn+2 ,n ⩾ 1,$ więc $Fn |---- φ, Fn−1$ gdy $n ∞ .$

Opisana metoda (gdy trafnie dobierzemy zakres działania odpowiedniego przekształcenia $T$ ) jest skuteczna w badaniu granicznych zachowań takich ilorazów również dla innych przedstawicieli z rodziny ciągów Fibonacciego.

Dobre bajki nigdy się nie kończą...