Dyskretny Darboux

Delta, maj 2020

o artykule ...

Publikacja w Delcie: maj 2020
Publikacja elektroniczna: 30 kwietnia 2020
Wersja do druku [application/pdf]: (365 KB)

Każda funkcja ciągła określona na zbiorze liczb rzeczywistych ma własność Darboux, tzn. jeśli dla pewnych $x$ i $y$ mamy $f (x) = a$ i $|f (y) = b;$ to w przedziale $(x;y )$ są przyjmowane wszystkie wartości między $a$ i $b:$ Jest to bardzo skuteczne narzędzie do rozwiązywania wielu zadań z analizy matematycznej. Okazuje się, że podobny motyw możemy zaobserwować także w zadaniach dotyczących liczb całkowitych...

Rozważmy bowiem taką funkcję $| f Z Z,$ że $f(x + 1) − f(x) ⩽ 1$ dla każdego $x ∈Z.$ Ma ona własność analogiczną do wcześniej opisanej własności Darboux, tzn. jeśli dla pewnych $x$ i $|y$ mamy $| f(x) = a$ i $f(y) = b,$ to na zbiorze ${x + 1,x + 2,...,y− 1}$ są przyjmowane wszystkie całkowite wartości między $|a$ i $b.$ Spróbujmy zobaczyć na przykładach, jak potężna może być powyższa obserwacja.

Narzędzia
Obiekty: Zbiory
Słowa kluczowe
Kategoria: Kombinatoryka

Dyskretny Darboux»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Dyskretny Darboux
Publikacja w Delcie: maj 2020
Publikacja elektroniczna: 30 kwietnia 2020
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (365 KB)

Dana jest dodatnia liczba całkowita $|n.$ Każdy element zbioru $|{1,2,3,...,6n}$ pomalowano na biało albo na czarno, przy czym dokładnie $|4n$ elementów jest białych. Wykazać, że w tym zbiorze istnieje $|3n$ kolejnych liczb całkowitych, wśród których dokładnie $2n$ liczb jest białych.

Rozwiązanie

Niech $| f(k)$ dla $1⩽ k ⩽ 3n+ 1$ będzie liczbą elementów zbioru $|{k,k +1,...,k+ 3n − 1}$ pomalowanych na biało. Zauważmy, że $| f(1)+ f(3n + 1)$ jest liczbą elementów zbioru ${1,2,3,...,6n}$ pomalowanych na biało, czyli $f (1)+ f(3n + 1) = 4n.$ Jeśli $| f(1) = 2n,$ to teza zadania zachodzi. W przeciwnym razie $| f(1) < 2n$ albo $f (1) > 2n.$ Przyjmijmy bez straty ogólności, że spełniony jest pierwszy przypadek (drugi jest analogiczny). Wtedy $f(3n + 1) > 2n.$ Jest jasne, że $f(k + 1) − f(k) ⩽ 1,$ zatem istnieje taka liczba $1 < k < 3n + 1,$ dla której mamy $| f(k) = 2n,$ co jest równoważne z tezą zadania.

Narzędzia
Obiekty: Liczby pierwsze
Słowa kluczowe
Kategoria: Teoria liczb

Dyskretny Darboux»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Dyskretny Darboux
Publikacja w Delcie: maj 2020
Publikacja elektroniczna: 30 kwietnia 2020
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (365 KB)

Udowodnić, że istnieje 2020 kolejnych dodatnich liczb całkowitych, wśród których jest dokładnie 13 liczb pierwszych.

Rozwiązanie

Niech $| f(k)$ dla $k ⩾1$ będzie liczbą liczb pierwszych w zbiorze $|{k,k +1,...,k+ 2019}.$ Wśród pierwszych 2020 liczb całkowitych dodatnich jest więcej niż 13 liczb pierwszych, zatem $f(1) > 13.$ Zauważmy także, że wśród liczb $|2021!+ 2,2021!+ 3,...,2021!+ 2021$ występują same liczby złożone, zatem $| f(2021!+ 2) = 0.$ Oczywiście mamy $| f (k+ 1)− f(k) ⩽1,$ skąd wniosek, że istnieje taka liczba $1 < k < 2021!+ 2,$ dla której mamy $| f(k) = 13.$ To kończy rozwiązanie zadania.

Narzędzia
Obiekty: Rachunki, Wielomiany
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

Dyskretny Darboux»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Dyskretny Darboux
Publikacja w Delcie: maj 2020
Publikacja elektroniczna: 30 kwietnia 2020
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (365 KB)

Nauczyciel napisał na tablicy trójmian kwadratowy $|x2 + 3x +15.$ Następnie wszyscy uczniowie w klasie podchodzili kolejno do tablicy; każdy z nich zmniejszał albo zwiększał o jeden współczynnik przy $|x$ albo wyraz wolny trójmianu. Na koniec okazało się, że na tablicy widnieje trójmian $|x2 + 13x + 5.$ Udowodnić, że w pewnym momencie na tablicy był napisany trójmian o pierwiastkach całkowitych.

Rozwiązanie

Niech $| f(k)$ będzie wartością danego trójmianu w punkcie $|x =− 1$ po zmianie współczynników przez $|k$ -tego ucznia i niech $f (0)$ będzie wartością w -1 trójmianu napisanego przez nauczyciela. Zauważmy, że $| f(0) = 12,$ a $f (n) = − 7$ (gdzie $|n$ to numer ostatniego ucznia). Ponadto zachodzi nierówność $| f (k+ 1)− f(k) ⩽1.$ Rzeczywiście - jest to jasne, gdy zmieniamy wyraz wolny, zaś zmieniając o $|± 1$ wartość współczynnika przy $x,$ dodajemy lub odejmujemy 1 do wartości wielomianu w -1. W takim razie istnieje takie $1 ⩽ k < n,$ że $f(k) = 0.$ Zatem w pewnym momencie na tablicy był napisany trójmian $|x2 + ax + b,$ którego jednym z pierwiastków było -1; ze wzorów Viète'a wnosimy, że drugim jego pierwiastkiem była liczba całkowita $|b.$

Metoda rozwiązania kolejnego zadania będzie nieznacznie różniła się od poprzednich, gdyż tym razem nasza funkcja będzie skakała o 2, ale tylko po liczbach parzystych.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Dyskretny Darboux»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Dyskretny Darboux
Publikacja w Delcie: maj 2020
Publikacja elektroniczna: 30 kwietnia 2020
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (365 KB)

Dany jest wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków. Każdy bok wielokąta ma długość 2 lub 3, przy czym liczba boków każdej z tych długości jest parzysta. Dowieść, że istnieją dwa wierzchołki wielokąta, które dzielą jego obwód na dwie części jednakowej długości.

Rozwiązanie

Niech liczba boków wielokąta będzie równa $2n,$ a jego wierzchołkami będą kolejno $A1, A2, A3, ...,A2n.$ Dla $|i = 1,2,...,2n$ niech

$pict$

gdzie $Ak+2n = Ak$ dla $k = 1,2,...,2n − 1.$ Innymi słowy, $f(i)$ jest różnicą długości części, na które dzielą obwód wielokąta punkty $A i$ oraz $|Ai+n.$ Ponieważ

f (i) = 2⋅(AiAi+1 + Ai+1Ai+2 + Ai+2Ai+3

(gdzie $|ℓ$ jest obwodem danego wielokąta), to $f (i)$ jest liczbą parzystą. Ponadto mamy

f(i+1)− f(i) = 2⋅Ai+nAi+n+1 −2⋅AiAi+1 = 2 ⋅ Ai+

Zachodzi także równość $f(i) =− f(i + n).$ Stąd wynika, że ciąg liczb

f(1), f(2),..., f(n)oraz f (n+ 1) = − f (1)

składa się z liczb parzystych, a jego kolejne wyrazy różnią się nie więcej niż o 2. Zatem istnieje takie $i,$ że $| f(i) = 0,$ czyli punkty $Ai$ oraz $|Ai+n$ dzielą obwód danego wielokąta na dwie części o jednakowej długości.